Спецкурсы

На кафедре в 2020-2021 уч.году читаются следующие спецкурсы:

Элементы математической логики

Ст. преп. Геннадий Иосифович Сыркин

Программа спецкурса:
Часть 1. Классическая логика высказываний (бескванторная часть классической логики)
1. Язык классической логики высказываний.
2. Интерпретация языка классической логики высказываний.
3. Законы классической логики высказываний (в форме равносильных преобразований формул, семантическое обоснование основных равносильностей и вывод из них других равносильностей).
Часть 2. Классическая логика предикатов (кванторная часть классической логики)
1. Язык классической логики предикатов первого порядка.
2. Интерпретация языка классической логики предикатов первого порядка.
3. Наиболее важные законы классической логики предикатов первого порядка в форме равносильных преобразований формул. Семантическое обоснование основных равносильностей и вывод из них других равносильностей.
Часть 3. Метод устранения кванторов. Примеры теорий и классов проблем, допускающих устранение кванторов. Применение метода устранения кванторов к построению алгоритмов, решающих некоторые классы проблем.
1. Применение метода устранения кванторов в решении конкурсных задач с параметрами.
2. Теорема Тарского-Зайденберга об устранении кванторов в теории первого порядка поля действительных чисел и её применения. Разрешающий алгоритм для теории первого порядка поля действительных чисел. Алгоритм, решающий задачи с параметром в элементарной математике, формализуемые в теории первого порядка поля действительных чисел.
3. Теорема Пресбургера об устранении кванторов в теории первого порядка сложения целых чисел. Разрешающий алгоритм для теории сложения целых чисел. Алгоритм, решающий задачи с параметрами в элементарной математике, формализуемые в теории сложения натуральных чисел, в теории целых чисел. Алгоритм, распознающий разрешимость систем линейных уравнений, неравенств, сравнений в целых числах (по различным модулям). «Обобщённая» китайская теорема об остатках (случай необязательно попарно взаимно простых модулей).

Задачи с параметрами

К.ф.-м.н., доцент Владимир Леонидович Натяганов, к.п.н. Елена Вячеславовна Шивринская

Программа спецкурса:
1. Метод координат и его применения:
—  задачи математического программирования, их графоаналитическое решение на плоскости, основанное на методе координат;
—  метод координат (уравнение Осипова-Ланчестера, «жёсткие» и «мягкие» модели Арнольда),
—  метод сечений;
—  метод областей;
—  кривые второго порядка, их канонические уравнения, конические сечения (кривые второго порядка). Их приложения к естествознанию.
2. Квадратичная функция в школе и Вузе:
—  способы решения задач с параметрами на исследование квадратичной функции. Метод решения относительно параметра;
—  рационализирующие подстановки, подстановки Эйлера и их геометрический смысл;
—  аналогия между школьной теорией квадратичной функции и типом уравнений математической физики;
—   min f = max g;
—  использовании свойств симметрии переменной в задачах с параметрами;
—  сетчатые номограммы для анализа уравнений (обобщение метода решения относительно параметра);
—  простейшая модель флаттера крыла самолёта и соответствующие задачи с параметрами.
3. Нестандартные и логические задачи:
—  необходимые и достаточные условия;
—  «Хорошая догадка — половина решения!»;
—  использование свойств чётности и симметрии;
—  логические задачи на количество решений.

Математическое моделирование.

К.ф.-м.н., доцент Владимир Натанович Дубровский, к.ф.м.-н., доцент Ирина Игоревна Нараленкова.

Цель спецкурса — познакомиться с различными способами перевода задач с открытой постановкой из «реальной жизни» на математический язык, т.е. построения математический моделей, и с методами исследованием этих моделей.
Основным источником заданий будут международные и национальные соревнования по математическому моделированию.
Значительное внимание будет уделено оформлению работ и их изложению на английском.

В программу курса входят элементы линейного программирования, теории вероятностей и статистики, теории конечных автоматов, теории графов; методы построения компьютерных моделей.

Литература.
1. Е.В. Алексеева. Построение математических моделей целочисленного линейного программирования. Примеры и задачи. НГУ, 2012.
2. Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. Теория вероятностей и статистика. МЦНМО, 2008.
3. Mathematical Modeling Handbook. Heather Cloud, Diane R. Murray, Andrew Sanfratello — ed. Teachers College, Columbia University, 2012.
4. immchallenge.org/Pages/Sample.html

 Олимпиадная математика

Пономарев Алексей Александрович, Трещев Виктор Дмитриевич, Меньщиков Андрей Борисович, Тихонов Юлий Васильевич, Журавлева Виктория Владимировна, Доледенок Алексей Вадимович, Назмутдинов Аскар Флоридович.

2 раза в неделю 2 группы

среда, 16:30 — 18:30

— группа «Убегающие», кабинет №32

— группа «Догоняющие», кабинет №39

пятница, 16:30 — 18:30

— группа «Убегающие», кабинет №32

— группа «Догоняющие», кабинет №39

Форма занятий — семинарская. Включает теоретические экскурсы, разборы типичных задач, индивидуальный прием задач у школьников. Иногда проходят тренировочные олимпиады. Проводятся разборы основных олимпиад.

Основной акцент занятий — подготовка школьников к участию в олимпиадах.

I семестр

Группа «Убегающие» — региональный и заключительный этапы Всероссийской олимпиады, Турнир Городов.

Группа «Догоняющие» — окружной и региональный этапы Всероссийской олимпиады, Турнир Городов.

II семестр

Группа «Убегающие» — региональный и заключительный этапы Всероссийской олимпиады, Турнир Городов, Московская математическая олимпиада.

Группа «Догоняющие» — региональный этап Всероссийской олимпиады, Турнир Городов, Московская математическая олимпиада, олимпиады «Ломоносов» и «Покори Воробьевы горы».

Конструктивная логика

Лектор: Валерий Егорович Плиско

Аннотация 

В спецкурсе систематически излагаются в доступной для школьников форме основные сведения, относящиеся к интуиционистской логике: мотивировка построения интуиционистской логики в виде исчисления Гейтинга, псевдобулевы алгебры и модели Крипке как инструмент исследования интуиционистских логических и логико-математических систем, интуиционистское исчисление предикатов, интуиционистская арифметика, конструктивная логика как вариант интуиционистской логики, основанный на теории вычислимых функций.

Программа  

1. Представление о конструктивных и неконструктивных доказательствах.
2. Построение математики на основе теории множеств.
3. Интуиционистская критика классической математики и логики.
4. Интуиционистский смысл основных логических понятий.
5.  Формализация интуиционистской логики высказываний.
6. Исчисление Колмогорова.
7. Интуиционистское исчисление высказываний (ИИВ).
8. Псевдобулевы алгебры.
9.  Корректность ИИВ относительно интерпретации в псевдобулевых алгебрах.
10. Свойство дизъюнктивности для ИИВ.
11. Теорема Гливенко.
12. ИИВ как исчисление задач по Колмогорову.
13. Финитная общезначимость.
14. Логика Медведева.
15. Модели Крипке для логики высказываний.
16.  Интуиционистское исчисление предикатов.
17. Модели Крипке для логики предикатов.
18. Интуиционистская формальная арифметика HA.
19. Исследование НА с помощью моделей Крипке.
20. Вычислимые функции и их нумерация.
21. Рекурсивная реализуемость для языка арифметики.
22.  Корректность HA относительно рекурсивной реализуемости.
23. Применения метода реализуемости для исследования HA.
24. Реализуемые пропозициональные формулы.
Литература: В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика. М.: Изд-во при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. — 159 с. (https://www.dropbox.com/s/d1in23ei59k5yrh/intlog.pdf)

Парадоксы термодинамики и статистической механики

лектор: Сальникова Татьяна Владимировна, доцент кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ

Аннотация

В предлагаемом курсе обсуждается история развития и различные аспекты взаимодействия двух способов описания физических систем — термодинамического и статистического.

Если изучать с точки зрения классической механики Ньютона эволюцию системы, состоящей из очень большого числа объектов (например, движение звездной галактики или облаков на небе), то необходимо привлекать элементы и понятия теории вероятностей, изучая статистические свойства, так как невозможно ни точно учесть все действующие на объекты силы, ни точно задать начальные условия. Такое микроскопическое описание является предметом статистической механики.

С другой стороны, гораздо удобнее описывать систему в целом, тем более, что на таком макроскопическом уровне описания система обладает такими характеристиками как температура, давление, энтропия, которые не имеют смысла для отдельных частиц. С точки зрения ньютоновской механики эволюция таких систем в целом выглядит парадоксально. В отличии от классической механики Ньютона, где законы движения не меняются при обращении времени, в термодинамике время необратимо, динамика тепловых процессов однонаправлена. Противоречие между обратимостью движения отдельных частиц и необратимостью эволюции термодинамических систем вызвало непримиримые споры и конфликты между учеными — приверженцами разных теорий. Обнаружилось множество парадоксов.

Во время лекций мы познакомимся с судьбами и творчеством выдающихся ученых, дадим математическое объяснение интересных парадоксов, а также обсудим современные направления и нерешенные проблемы.

ПРОГРАММА КУРСА

1. История возникновения термодинамики. Стрела времени.
2. Начала термодинамики. Идеальный газ. Внутренняя энергия и энтропия.
3. Идеальный газ как система точек в кубе. Сведение к условно-периодическому движению. Теорема Вейля, следствия.
4. Парадокс Цермело. Парадокс Лошмидта. Демон Максвелла.
5. Распределение Максвелла.
6. Подход Гиббса. «Термодинамизация» механических систем.
7. Краткое знакомство с некоторыми современными направлениями исследований (кинетическая теория и др.)

Спецкурсы, читавшиеся в разное время

Построения циркулем и линейкой и алгебраические числа (Чл.-корр. РАН Ю.В. Нестеренко, ассистент М.Е. Зеленова). Аннотация: annotatsiya-postroeniya-tsirkulem

Теория вероятностей и математическая статистика (Д.ф.-м.н. О.П. Виноградов). Программа: programma-spetskursa-po-teorii-veroyatnosti

Алгебра и теория чисел (Колосов В.А.)

Программа курса состоит из дополнительных глав к основному курсу алгебры и содержит следующие темы: Цепные дроби. Уравнение Пелля и квадратичные поля. Поля деления круга и Великая теорема Ферма. Гауссовы суммы и их свойства. Законы взаимности. Элементы теории Галуа. Теория решения уравнений пятой степени. Элементы теории эллиптических функций и кривых.

Введение в математическое моделирование (Ю.В.Шестопалов)

Обязательный специальный курс для класса компьютерно-информационной специализации.

Рассматриваются основы математического моделирования и численных методов на уровне, доступном для учащихся выпускных классов средней школы. Фундаментальным понятием является дискретная (сеточная) функция дискретного аргумента как средство построения математических моделей и проведения вычислений. Изучается математический аппарат теории сеточных функций (конечные и разделенные разности, методы решения разностных уравнений). Рассматривается понятие интерполирования, строятся простейшие интерполяционные полиномы. Вводятся понятия погрешности вычислений (интерполирования) и оценки погрешностей. Анализируются различные способы приближения функций. Hа этой основе изучаются основные методы математического моделирования.

Математический практикум на ЭВМ в рамках спецкурса предусматривает знакомство с основными методами вычислений (решение нелинейных уравнений, оптимизации, решение краевых задач для разностных уравнений и т.д.) и практического выполнения 4-х заданий, нацеленных также на изучение языка FORTRAN.

В спецкурсе предусматривается изучение издательских систем TEX и овладение основными навыками набора, редактирования и верстки при помощи этих издательских систем.

Введение в теорию динамических систем (Трещёв Д.В.).

Курс содержит следующие основные темы: Одномерная динамика. Неподвижные точки. Устойчивость. Теорема Шарковского. Бифуркации удвоения. Универсальность Фейгенбаума. В нем содержатся многочисленные примеры, возникающие как при теоретических рассмотрениях, так и при решении конкретных практических задач.

Высшая математика с элементарной точки зрения. (Вавилов В.В.)

Основными задачами курса являются изучение методов решений трудных конкурсных задач вступительных письменных экзаменов по математике в различные высшие учебные заведения и анализ решений неэлементарных задач при помощи только элементарных средств.

Во второй части курс носит исследовательский характер и здесь обсуждаются и предлагаются темы для самостоятельных исследований и для подготовки докладов на различные конференции. Занятия организованы в лекционносеминарской манере, предусматривая доклады участников.

В качестве основных тем курса отметим следующие: Бесконечные процессы в анализе (площадь круга, метод Ньютона и множества расходимости, суммы, произведения, итерации радикалов и экспонент, и др.). Многоликий алгоритм Евклида (наибольший общий делитель, непрерывные дроби, теория периодических десятичных дробей). Анализ последовательностей (конечные разности, суммы, разностные уравнения, дискретные гармонические функции). Площадь поверхности и объем (различные подходы).

Динамическая геометрия и геометрическая динамика (Швец А.Н., Тен В.В., Нечаев А.Н.)

Основные цели курса: привлечь внимание учащихся к красивейшему разделу математики — теории динамических систем и показать место теоретической механики среди других математических дисциплин. От слушателей не требуется знаний, выходящих за рамки программы неполной средней школы.

В программе курса: Уравнения в математике (алгебраические, дифференциальные, интегральные и др.). Анализ функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений (существование решений, первый интеграл, изоклины, фазовые портреты, исследование механических систем с одной степенью свободы и др.). Гладкие многообразия и классификация двумерных гладких поверхностей. Векторные поля и динамические системы. Системы с различным характером поведения траекторий (Лотки-Вольтерра, Лоренца, Колмогорова и др.). Механика Ньютона как аксиоматическая система.

Детермированный и стохастический хаос. Нелинейная динамика на комплексной плоскости и фрактальные множества.

Дополнительные главы анализа и их приложения в динамике (Карапетян А.В., ассистент,  Буров А.А.)

Основная цель курса — показать, как математические методы работают в прикладных задачах и обратно, как прикладные задачи формируют сами математические методы исследований. Курс носит научно — исследовательский характер, предполагается постановка самых современных нерешенных задач.

Программа курса состоит из четырех тем: Функции нескольких переменных (экстремумы, бифуркации критических точек семейства функций). Дифференциальные уравнения (общее решение, инвариантные множества, первые интегралы, устойчивость решения). Основы динамики (дифференциальные уравнения механики, экстремальность уравнений Лагранжа и Гамильтона, симметрия и законы сохранения, фазовые портреты динамических систем, бифуркации инвариантных множеств динамических систем).

Дополнительные главы математики (Рождественский В.В.)

Кривые на плоскости (Полякова Л.С.)

Плоские коники, циклоидальные кривые и их спутницы, кривые Уатта, улитка Паскаля и трезубец Ньютона, розы и розетки, кривая дракона, лист плюща, эволюты и эвольвенты, каустики, годографы и многие другие кривые на плоскости и в пространстве являются предметом изучения в рамках данного курса. Прослеживается жизнь многих кривых — с момента рождения до самых современных приложений — и их роль в историческом развитии математики и механики.

Курс носит вводный характер в современную дифференциальную теорию кривых. Желающие слушатели курса смогли принять участие в разработке компьютерной системы «Кривой справочник».

КРКЗ  (Семёнова Т.Г.)

Математика. Подготовка к вступительным экзаменам (Сергеев И.Н.)

Математический Калейдоскоп (Колосов В.А.)

Олимпиадные задачи по математике (Колосов В.А.)

Синтез БИС и сложность вычислений (Часовских А.А.)

Сложность булевских функций ( Шкаликова Н.А.)

Главная цель курса — изучить некоторые конкретные методы оценки сложности логических формул, которые используются при создании математических моделей интегральных схем, встречающихся в самых различных электронных устройствах.

Будут даны оценки функции (сложности) Шеннона по порядку, ее асимптотическая оценка и нетривиальные нижние оценки для конкретных систем булевских функций.

Тематика курса относится к дискретной математике.

Что такое фрактал (Долбилин Н.Н.)

Красота мира фракталов привлекает внимание многих — от художников и модельеров до биологов, физиков и математиков. Однако точного определения фрактала или фрактального множества до сих пор не существует. Попытка убедительно ответить на вопрос «Что такое фрактал?» и построить начала теории — основная цель курса. В нем содержится большое количество конкретных примеров фракталов и прослежена история их возникновения. Предполагается использование для демонстраций персональных компьютеров и видеотехники. Имеются широкие возможности для самостоятельных исследований и экспериментов на компьютере.

Основными разделами курса являются следующие: Фракталы и в мир хаоса (ковер Серпинского, кривая дракона, кривая Коха, множество Кантора). Самоподобные множества и размерность подобия. Длина береговой линии и дробность размерности фракталов. Самоподобные множества и мозаики на плоскости. Инвариантные множества и их связь с самоподобными множествами. Нелинейные фракталы (множества Жюлиа и Мандельброта).

Элементарная математика ( Семенова Т.Г., Рождественский В.В.)

В курсе, который отдельно читается для учащихся девятых и десятых классов, рассматриваются методы решения конкурсных задач, которые в разные годы предлагались абитуриентам на вступительных экзаменах по математике в МГУ, МФТИ, МИФИ и другие вузы. Содержание курса охватывает большинство тем и разделов элементарной математики (рациональные и иррациональные, показательные и логарифмические уравнения, неравенства и системы, текстовые задачи, задачи с параметром, задачи по тригонометрии, планиметрии, стереометрии и др.) На большом числе рассматриваемых задач анализируются стандартные ошибки, допускаемые абитуриентами при решении задач и оформлении работ. Специальное время отводится подготовке к устному вступительному экзамену.

Слушатели курса имеют прекрасную возможность интенсивно улучшить свою подготовку к письменному и устному выпускным и вступительным экзаменам по математике.

Элементарная теория чисел (Колосов В.А.)