Автор: В.В. Вавилов.

Имена классиков, которые фигурируют в самом названии школы, столь значимы для России и становления системы научных исследований, организа­ции среднего и высшего образования, что ко многому обязывают. Оба — люди универсальных знаний, ученые — энциклопедисты, патриоты и гуманисты. Те семена, которые за два века до А.Н. Колмогорова посеял М.В. Ломоносов, взошли именно в Московском университете, основной традицией которого стал отбор талантов, создание условий для их развития, непосредственное уча­стие в этом широкой научной общественности. Одно из самых плодотворных зерен — создание гимназии при Московском университете; М.В. Ломоносов так говорил об этом: «При университетах должна быть гимназия, без которой уни­верситет как пашня без семени. Здесь следует преподавать школьные предме­ты так, чтобы вышедшие оттуда должны быть способны приступить к заняти­ям высшего порядка в университетах». Это зерно вновь заколосилось, когда по инициативе ведущих ученых страны — академиков А.Н. Колмогорова, И.К. Кикоина, И.Г. Петровского и при поддержке Академии наук в лице М.В. Келдыша в 1963 году при МГУ была создана школа — интернат.

Более точно, постановление Совета Министров страны «Об организации специализированных школ-интернатов физико-математического и химико- биологического профиля» датировано 23 августа 1963 года, а соответствую­щие ему Положение о специализированной школе-интернате при государст­венном университете и Правила приема в школу-интернат были утверждены приказом министра высшего и среднего специального образования лишь 22 июня 1964 года. Аналогичные школы-интернаты были открыты также в Ново­сибирске, Ленинграде и Киеве; справедливости ради нужно отметить, что при Новосибирском университете такой интернат был открыт еще до выхода пра­вительственного постановления — в 1962 году (здесь решимость и настойчи­вость проявил академик М.А. Лаврентьев).

В конце пятидесятых годов особенно активизировалось движение за орга­низацию специализированных школ и классов с повышенным вниманием к математическому образованию учащихся, в которых на изучение математики и физики отводилось немного больше часов, чем в обычной массовой школе. Кроме того, повсеместно расширялись такие формы работы со школьниками, как олимпиады, кружки, воскресные лектории, вечерние школы и т. д.

Дополнительные часы в разных школах употреблялись на разные цели: на изучение программирования, основ математического анализа, на более глубо­кое проникновение в 1радиционный курс математики средней школы. С само­го начала организаторы и энтузиасты идеи повышенного специализированного образования ставили перед собой, в качестве основной цели, задачу подъема общего уровня преподавания естественнонаучных дисциплин в стране; не ме­нее важной целью являлась задача поиска, воспитания и поддержки одаренной молодежи. С первых же дней создания физико-математических школ в их ра­боте самое живое и непосредственное участие принимали преподаватели, ас­пиранты и студенты вузов. Достаточно сказать, что в этой работе, прямо или косвенно, активно участвовали самые первоклассные ученые: П.С. Александров, Н.И. Ахиезер, С.Т. Беляев, В.М. Глушков, И М. Гельфанд, Б.В. Гнедепко, Е.Б. Дынкин, А.А. Ляпунов, А.И. Маркушевич, B.C. Смирнов, Д.К. Фадеев, Д.В. Широков и многие другие.

Нужно иметь в виду, что задача создания новой формы профессионального обучения школьников, да еще в широких масштабах, таких, чтобы она оказала существенное влияние на содержание преподавания математики и физики в массовой средней школе, чрезвычайно сложна даже при наличии определен­ной концепции, признанной специалистами и педагогами-практиками, а наша страна не располагала в то время никакими разработками и экспериментами в этом направлении. Поэтому потребовалась академическая и вузовская научная общественность, способная влить новую струю в довольно застоявшуюся к тому времени систему общего среднего образования. (В скобках заметим, что все глобальные реформы среднего образования начинались и проводились в жизнь ведущими учеными как у нас в стране, так и за рубежом). В начале XX века в ряде стран, включая Россию, сложилось так называемое «реформист­ское движение», которое выступало за реформу преподавания математики в средней школе, направленную на 1) развитие функционального мышления путем изучения функций и их графиков, 2) введение в курс элементов «выс­шей математики», 3) сближение математики с ее приложениями, 4) отказ от ряда традиционных частей программы, лишенных общеобразовательного зна­чения. Это движение стало международным и имело своим признанным лиде­ром Феликса Клейна. В апреле 1914 года в Париже состоялась Международная конференция по математическому образованию. Конференция была созвана «Международной комиссией по математическому образованию» и была по­священа результатам введения в старших классах средней школы дифферен­циального и интегрального исчислений, а также месту и роли математики в высшем техническом образовании (в русскую делегацию входили Н.Я.Сонин,

Б.Я.Коялович и К.А.Поссе). Отметим, что о введении элементов математиче­ского анализа в программу средних школ мечтали наши выдающиеся матема­тики М.В.Остроградский, П.Л.Чебышев, Н.И.Лобачевский и другие, но в 1914 году в России ни о каких результатах такого введения и речи не было, да и быть не могло, т.к. практических шагов к тому времени в этом направлении в широком масштабе еще не делалось. Всем понятно, что развитие средней об­щеобразовательной школы (как и показывает опыт многих стран) может со­вершаться лишь очень медленно. На это есть много причин, но имеются и та­кие, которые специально относятся к преподаванию математики. Об этом мно­го писал и говорил Э. Борель; он справедливо отмечал наличие в период реор­ганизации сильных консервативных тенденций, а во-вторых, он выделял важ­ность общественно согласованных целей преподавания математики. Он писал: «…Если преподавание математики имеет целью образование ума, а не приоб­ретение точных знаний, и если эта цель достигается почти совершенным обра­зом с помощью традиционных профамм, то к чему изменять эти программы?

Я желал бы объяснить, почему такая точка зрения представляется неприем­лемой. Прежде всего — вследствие фактической стороны дела. Невозможно сохранить в неприкосновенности одну часть организма, если изменяются все остальные его части. В самом деле, в гуманитарном образовании словесные и точные науки составляют одно целое: нельзя отдельно рассматривать различ­ные специальные программы, если цель школы одна — формировать культур­ного человека. Математика не может поэтому оставаться единственной неиз­менной частью школы, коль скоро все в этой школе меняется: необходимость в таких изменениях вызывается уже нуждами родственных предметов про­граммы.

Но еще важнее, может быть, следующая сторона дела: для школы не безо­пасно удаляться все более и более от жизни и реальных условий. С каждым днем приложения науки все глубже проникают в обиход нашей жизни: мы ежедневно пользуемся велосипедом, на столбцах газет мы постоянно встреча­ем различные графики; когда у нас дома кто-нибудь заболевает, мы вычерчи­ваем графики температуры. Если преподавание математики будет опирать­ся на эти столь привычные нам вещи, то оно сделается более интересным, бу­дет чуждо мертвой схоластики. Когда преподавание математики получает слишком схоластический характер, то оно вызывает у многих учеников от­вращение и не только не действует образовательным образом, но, напротив, известной части наносит вред».

Конечно, тот факт, что в нашей стране именно в пятидесятых годах нача­лось это движение за повышение уровня математического образования тех школьников, которые проявляют интерес и способности к изучению матема­тики, легко объясним. К этому времени достаточно определенно выявилась фундаментальная роль математики для прогресса наших знаний об окружаю­щем нас мире, для развития народного хозяйства и его управления, для косми­ческих исследований, для обороны страны. В эти же годы педагогическая нау­ка все более настойчиво стала проводить в жизнь и идеи полной реорганиза­ции среднего образования.

Понимая, что начинать нужно немедленно, имея достаточно большой опыт работы с московскими школьниками и учителями и учитывая огромные раз­меры страны, А.Н. Колмогоров неоднократно в начале шестидесятых годов обращается к идее о том, чтобы организовать в порядке эксперимента при крупных университетах специализированные школы-интернаты, учащиеся которых должны отбираться вне крупных городов, вне научных центров. Эта идея включала в себя следующее соображение: очень многие способные к ма­тематике учащиеся сельских и поселковых школ остаются без серьезного воз­действия математической общественности, нет возможности в каждой такой школе организовать математические кружки и специальные группы для полу­чения дополнительных математических знаний, обеспечив их квалифициро­ванными руководителями, которые одновременно участвуют в развитии мате­матической науки. Экспериментальная же составляющая идеи заключалась в том, чтобы отработать основные моменты реформы содержания дифференци­рованного обучения школьников в масштабах всей страны.

Несомненно то, что при создании школы-интерната при МГУ и других ана­логичных школ (особенно при разработке содержания профилирующих дисциплин) был изучен опыт работы различных учебных заведений Франции, Англии, Германии, Италии, Австрии и др. стран, а также использованы неко­торые идеи реформирования математического образования в этих странах; у А.Н. Колмогорова на даче в Комаровке, дома и в интернате, в частности, были книги и педагогические статьи Э. Бореля, которые он изучал и высоко оцени­вал. При организации школы-интерната в Москве, кроме того, сказался и лич­ный опыт школьного преподавания А.Н. Колмогорова, который еще в свои студенческие годы преподавал математику и физику в Потылихинской опыт- но-показательной школе, о чем и гласит первая запись в его трудовой книжке (см. [1]): «До поступления на работу в МГУ (1929г.) — общий стаж работы 3 года. Основание — копия удостоверения № 87, март 1925 г.» В этой школе он был секретарем школьного совета и воспитателем в интернате, чем он очень гордился. Сейчас довольно много людей, которых А.Н.Колмогоров приглашал на работу в школу-интернат (и не только математиков и физиков), имеют ана­логичные первые записи в своих трудовых книжках, но уже отражающих на­чало своей трудовой деятельности в школе-интернате при МГУ — школе им. А.Н.Колмогорова.

Говоря о первых шагах в становлении будущего ученого (и приобщении школьников к исследовательской работе в том числе), А.Н. Колмогоров, в пе­риод создания школы при МГУ, говорил: «Прослеживая биографии известных ученых, в большинстве случаев в начале их пути мы найдем увлекшегося нау­кой школьного учителя, обратившего на способного ученика индивидуальное внимание, первого научного руководителя, указавшего подходящую тему самостоятельного исследования, часто обдуманно приспособленную к возмож­ностям именно данного студента. Часто заметим мы и одного и нескольких близких друзей-сверстников, поддерживающих друг друга. Думаю, что эти тонкие человеческие взаимоотношения, формирующие будущего ученого, со­хранят все свое значение и в будущем.

Сейчас, когда наша страна нуждается в большом числе способных и хоро­шо подготовленных исследователей в самых разных областях науки и техники, нужна, конечно, широкая система организационных мероприятий, в которой находят свое место и факультативные занятия по выбору со старшими школь­никами, специализированные школы, различные виды внешкольной работы (кружки школьников при вузах, олимпиады и т.п.), широкое ознакомление молодежи со специальным характером работы университетов и технических вузов (типа Московского физико-технического института), надлежащая орга­низация конкурсных экзаменов в такого рода вузы, широкое вовлечение в на­учную работу и студентов тех вузов, в которых подготовка будущих научных работников является лишь побочной задачей. Конечно, однако, все эти органи­зационные мероприятия не дадут ожидаемого результата, если за ними не бу­дет стоять та индивидуальная забота о развитии каждого юноши — потенци­ального будущего ученого, о которой я сказал сначала».

Вот некоторые выдержки из Положения о специализированной школе- интернате при государственном университете (оно было утверждено приказом Минвуза СССР за № 196 от 22.06.64г.):

«…- В специализированную школу-интернат принимаются учащиеся из числа наиболее успешно окончивших неполную среднюю городскую или сельскую общеобразовательную школу и проявивших способности к овладе­нию физико-математическими и химико-биологическими науками…

— Отбор кандидатов на зачисление… производится университетом совмест­но с органами народного образования на основе конкурсных экзаменов по профилирующим дисциплинам и собеседования ученых с поступающими, с учетом рекомендации педагогического совета школы.

— Учащиеся, принятые в специализированную школу-интернат, обязаны систематически и глубоко изучать все дисциплины учебного плана, посещать обязательные учебные занятия по расписанию и в установленные сроки вы­полнять учебные задания, участвовать в общественно полезном труде, самооб­служивании и общественной жизни коллектива, соблюдать правила внутреннего распорядка и социалистического общежития.

— Выпускникам …, окончившим обучение и успешно сдавшим выпускные экзамены, выдается аттестат о среднем образовании и свидетельство о получе­нии специальности, которые дают право работать по избранной специальности и поступать в высшие учебные заведения на общих основаниях.

— Учебно-воспитательная работа… строится в соответствии с требованиями современной науки…

Усиление подготовки учащихся в зависимости от профиля обучения по ма­тематике,… достигается путем изучения специальных курсов по особым про­граммам, занятий в кружках…, прохождения учащимися практикумов…

Учебные планы и программы по профилирующим дисциплинам утвержда­ются Министерством высшего и среднего специального образования СССР. Учебные занятия по остальным предметам проводятся по программам, утвер­жденным Министерством просвещения (народного образования).

—   Обучение… обеспечивает всестороннее умственное и физическое разви­тие учеников, сознательное усвоение основ науки, развитие инициативы, люб­ви к науке, привитие навыков к самостоятельной работе и умение применять полученные знания в практической работе.

В школе-интернате проводятся уроки, лекции, лабораторные практикумы, экскурсии, практические работы в мастерских и на учебно-опытных участках, занятия в лабораториях и в вычислительных центрах университета и т.д. В учебных заведениях должны широко применяться учебное кино и другие тех­нические средства, способствующие лучшему усвоению учебного материала.

—  Численность учащихся в классе и число воспитанников в группе … уста­навливается в 30 человек. Для занятий по труду, иностранному языку, физиче­ской культуре и производственному обучению класс делится на две подгруп­пы при наличии не менее 20 человек в классе.

—  Преподавание учебных дисциплин … ведут учителя, назначаемые органа­ми народного образования …, по согласованию с университетом…

Для преподавания в школе-интернате профилирующих дисциплин, специ­альных курсов, проведения лабораторных работ привлекаются профессора и преподаватели государственного университета и научные сотрудники научно- исследовательских институтов.

—   В целях обеспечения необходимой подготовки учащихся по профили­рующим дисциплинам … по решению совета школы создаются кабинеты, учебно-производственные мастерские и учебно-опытные участки как само­стоятельные подразделения школы.

—   Для рассмотрения и решения основных вопросов обучения и воспитания учащихся … создается совет школы. Состав совета утверждается ректором университета».

По этому положению (точнее, на основании правил приема, которые были утверждены тем же приказом Минвуза) в школу-интернат не принимались жители университетских городов. Московская ФМШ имела только девятые и десятые классы (нынче мы бы сказали — десятые и одиннадцатые), в которых обучалось около 360 школьников. Каждый год набиралось 150 человек на двухлетнее обучение и 60 человек на одногодичное обучение (последнее было организовано в 1967 году). Специализация обучения в школе-интернате до 1988 года было только по математике и физике. Отметим, что в порядке экспе­римента (1973-1974 годы) набирался один класс на трехгодичное обучение; этот опыт у нас не удался (в отличие о Ленинградского и Новосибирского университетов), так как для многих учащихся психологические трудности, связанные с отрывом от семьи и значительной самостоятельностью жизни в условиях интерната, огромная учебная нагрузка в этом возрасте для многих детей оказались непреодолимыми (а сама школа с такими «малышами» рабо­тать была не подготовлена).

Школы — интернаты были задуманы как школы научного творчества, а от­нюдь не как своеобразные курсы по подготовке к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения (хотя этому вопросу всегда уделялось должное внимание). Главное стремление — привить питомцам навыки самостоятельного научного мышления, вооружить их всем, что необходимо для восприятия уни­верситетских курсов с полным пониманием существа дела и для быстрого вхождения в самостоятельную и активную научную работу.

Эти основополагающие принципы в деятельности школы не всегда находи­ли одобрение и поддержку в органах народного образования, у отдельных ра­ботников университета и некоторых видных ученых. Ярким примером может здесь служить одна дискуссия между П.Л.Капицей и А.Н.Колмогоровым (см. [21], [22]); исходной точкой здесь послужила публикация [21] доклада Нобе­левского лауреата, академика П.Л.Капицы «Некоторые принципы творческого воспитания и образования современной молодежи» на Международном кон­грессе в Венгрии в 1971 году по проблемам преподавания физики в средней школе, в котором он высказал некоторые критические замечания о специали­зированных школах. В частности он писал: «… Школы, созданные для из­бранной, одаренной молодежи в области математики, физики, химии, биоло­гии, оказываются даже вредными. Вред их заключается в следующем. Если талантливого школьника изъять из школы, то это ее как бы обескровливает и сильно сказывается на уровне всей школы. Это объясняется тем, что способ­ный товарищ может уделять своим одноклассникам гораздо больше времени, чем учитель, и взаимная помощь между ними налаживается проще и теснее. Талантливые школьники часто играют большую роль, чем учителя, для обуче­ния своих товарищей. Но этого мало.

Хорошо известно, что в процессе обучения сам обучающийся учится. Что­бы объяснить товарищу теорему, надо хорошо ее самому понять, и в процессе объяснения выявляется своя собственная неполнота понимания. Таким обра­зом, талантливым школьникам для своего умственного роста нужны товари­щи, с которыми они могли бы заниматься. В школе для талантливой молодежи такого взаимного обучения обычно не возникает, и это сказывается на эффек­тивном развитии способностей». Такое мнение в экспериментальной педаго­гике новым не являлось — оно выдвигалось в начале XX века различными пси­хологами и учителями и уже тогда подвергалось самой широкой критике (на­пример, в докладе известного психолога В.П. Кащенко на Первом съезде по экспериментальной педагогике в 1911 году).

После публикации своей статьи П.Л. Капица направил ее копию А.Н. Колмогорову, и адресат был выбран, конечно, далеко не случайно. К это­му времени А.Н. Колмогоров имел огромный опыт работы со школьниками и учителями математики средних школ: он стоял у истоков организации матема­тических олимпиад в нашей стране, читал много научно-популярных лекций, написал (совместно с П.С. Александровым) учебник по алгебре для массовой школы, опубликовал в журнале «Математика в школе» много статей методи­ческого характера, являлся инициатором и активным руководителем реформы математического образования в средней школе, школа-интернат при Москов­ском университете тогда уже имела восьмилетний опыт работы. В то время А.Н. Колмогоров огромное количество времени проводил в стенах школы- интерната и активно занимался всеми проблемами, связанными с ее становле­нием и развитием. Письмо со своим мнением А.Н.Колмогоров направил П.Л. Капице 5 ноября 1971 года и затем позднее оно было опубликовано в [22] вместе с другими откликами на статью П.Л.Капицы.

А.Н. Колмогоров пишет: «… Я руковожу физико-математическим интерна­том при МГУ. Таких интернатов пока немного. Четыре (Москва, Ленинград, Новосибирск и Киев) существуют на основе специального постановления пра­вительства…. Школы эти, несомненно, очень полезны. Наша московская шко­ла не имеет ни одного ученика из жителей Москвы и в принципе не принимает детей жителей университетских городов…. Мы считаем, что университеты должны сами заботиться о вовлечении в научную, творческую атмосферу стар­ших школьников своего города.

В области математики успех школы несомненен…. Не аргументируя под­робно, скажу, что около половины хороших научных работ, выполненных сту­дентами и аспирантами математиками в МГУ, принадлежат нашим бывшим выпускникам. Если же говорить просто о приеме в аспирантуру, то среди при­нимаемых в аспирантуру немосквичей бывшие наши выпускники составляют заметное большинство.

Сейчас для способного подростка в университетском городе имеется воз­можность оставаться в своей обычной школе и посещать специальные занятия (кружки, вечернюю школу), организуемые в университете. Но наши ученики, как правило, попадают к нам из таких мест, где их быстрый рост был бы край­не затруднен или невозможен».

Отвечая на это письмо А.Н.Колмогорова, П.Л. Капица пишет (см.[24]): «…На мой взгляд, специальные школы, по сравнению с обычными, должны преследовать задачи, аналогичные тем, которые преследуют клиники по срав­нению с больницами.

Клиника изучает и отрабатывает новые методы диагностики и лечения и для этого имеет наиболее квалифицированный персонал, и ее задача — вне­дрять передовые методы в жизнь и этим поднять уровень медицинского об­служивания больных в обычных больницах. При этом, конечно, клиники должны быть специализированными по определенным видам заболевания. Полезность и необходимость такой организации в здравоохранении общепри­знанны и не вызывают сомнений. То же должно иметь место и при развитии образования.

Задача специальных школ — изучать и разрабатывать передовые методы обучения и воспитания. Спецшколы должны иметь хорошо подобранные кад­ры преподавателей и образцовую организацию. Конечно, такие школы не мо­гут охватывать обучение по всем областям знаний и должны быть специализи­рованы по отдельным дисциплинам, как математика, физика, биология и пр.

Тут мы, по-видимому, несколько расходимся с Вами во взглядах. В Вашем письме, характеризуя деятельность Ваших школ, Вы определяете их значи­мость по научным успехам Ваших питомцев. Это, конечно, показывает, что Ваши методы преподавания математики действительно являются более со­вершенными. Но Вы не говорите о том, что предпринимаете, чтобы эти мето­ды обучения распространялись более широко. И как они влияют на качество преподавания математики в обычных школах. Я считаю, что повышение уров­ня преподавания в стране в широких масштабах и должно быть основной зада­чей спецшкол. Если это так, то из этого следует, что характер организации этих школ, отбор преподавателей и учеников должен быть согласован с этой задачей.

Спецшколы по основным отраслям знаний, задачи которых — разрабатывать и внедрять наиболее передовые методы преподавания в масштабе всей страны, всегда будут нужны…

Очень ценю, что Вы, ученый такого исключительно крупного научного да­рования, занимаетесь вопросами воспитания молодежи. Я думаю, что сейчас это наиболее важная задача для развития культуры в нашей стране. Когда-то Клемансо говорил, что война чересчур серьезная вещь, чтобы поручать ее од­ним военным. Я думаю, что то же относится к воспитанию творческой моло­дежи, в этой работе должны принимать участие ученые…»

Время, конечно, расставило все по своим местам. Сейчас во всем мире, в том числе и в России, существуют и активно развиваются специализированные школы, лицеи, гимназии, колледжи. Об эффективной национальной системе поиска, развития и поддержки талантливой молодежи заботится любая страна, думающая о своем будущем.

Активная деятельность А.Н. Колмогорова, связанная со средней школой вообще и с интернатом в частности, была огромной и продолжалась всю его жизнь; о ней достаточно полно можно судить по статьям из двух замечатель­ных сборников [1], [2]. В статье А.Н. Ширяева [1] приведены некоторые лич­ные ежегодные отчеты члена Академии педагогических наук А.Н. Колмогорова. Вот некоторые из этих отчетов: «1969 год — Руководил пре­подаванием математики в школе-интернате при МГУ. Читал там лекции для учащихся девятых классов (в первом полугодии) и десятых классов (во втором полугодии); 1970 год — В физико-математической школе-интернате при МГУ руковожу методическим объединением математиков, читаю лекционный курс, а в качестве председателя попечительского совета занимаюсь и общими дела­ми школы. На основе материалов школы готовится учебник (см. [15]) матема­тики для физико-математических школ (из сотрудников АПН в авторском коллективе В.А. Гусев, А.А. Шершевский), для которого мною написано несколько глав. В течение 24-х летних дней был полностью занят в летней школе, через которую происходит окончательный отбор в школу-интернат; 1974 год — работа по физико-математической школе-интернате при МГУ. Читал лекции для девятых классов в весеннем семестре. Руководил летней школой в Пущино и отбором поступающих в ФМШ. Собирал материалы для учебника для физико-математических школ и пособия для факультативных занятий в общей школе (на базе опыта наших летних школ)». И многое другое содержится в этих годовых отчетах: написание и редактирование учебников, статей, редакционная авторская работа в журналах «Математика в школе» и «Квант», работа в различных комиссиях министерства образования и АПН; олимпиадная деятельность и т.д. При этом, нужно подчеркнуть и ту огромную «основную» работу в Академии Наук, в Московском университете и т.д.

Активная личная деятельность по поиску и воспитанию роднит наших вы­дающихся ученых и общественных деятелей М.В. Ломоносова и А.Н. Колмогорова в озабоченности проблемами народного образования и бу­дущего страны. Московский университет всегда высоко оценивал и поддержи­вал деятельность школы-интерната; об этом неоднократно высказывались на встречах в школе и в печати его ректоры И.Г. Петровский, Р.В. Хохлов, А.А. Логунов, В.А. Садовничий и многие из деканов и профессоров универси­тета. На первых порах, практически во всех высказываниях о школе специаль­но подчеркивалось, что к самой идее создания школы отношение положитель­ное, что эксперимент по ее созданию удачен и т.д.(обращалось внимание, ко­нечно, и на некоторые проблемы и недостатки). В настоящее же время все уже давно забыли о том, что школа-интернат при университете была создана в по­рядке эксперимента. «Очень хорошо, что в России есть такое явление, как школа-интернат №18. И делает эта школа святое дело — ищет способных, та­лантливых ребят и дает им возможность учиться» — так совсем недавно гово­рил В.А. Садовничий в своем выступлении перед учащимися школы им. А.Н. Колмогорова.

В 1988 году на базе школы-интерната в Московском университете (и в Но­восибирском), после успешной 25-летней ее деятельности, на основании ре­шения правительства страны, был создан Специализированный учебно- научный центр (СУНЦ МГУ), который объединяет школу им. А.Н. Колмогорова ( это звание официально было присвоено школе-интернату лишь в 1989 году, хотя ее практически всегда называли «колмогоровской» школой) с другими подразделениями университета, работающими со школь­ной молодежью. Этот столь прогрессивный шаг вперед стал возможен благо­даря инициативам директоров школ-интернатов при НГУ и МГУ того периода (и их выпускников) А.А. Никитина и Д.Л. Абрарова; А.Н. Колмогоров был в курсе намечаемых перемен и поддерживал их, но состояние его здоровья не позволило ему тогда активно помочь в их реализации. В 1988 году в школе им. А. Н.  Колмогорова по инициативе Ю.Д. Третьякова, академика и профессора МГУ, была открыта химическая специализация; в 1992 году по инициативе академика А.Н. Тихонова и декана факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ, профессора Д.П. остомарова — компьютерно — информаци­онная специализация, а по инициативе самой школы, при поддержке Совета школы и экономического факультета МГУ, появился один класс (двухгодич­ного обучения), специализирующийся по математическим проблемам эконо­мики. Правда, экономическая специализация просуществовала в школе только четыре года; от нее отказались, главным образом, потому, что такое отделение было открыто на механико-математическом факультете, куда поступают мно­гие наши выпускники и из-за трудностей с реализацией учебного плана в шко­ле, т.к. обучение такой специальности требует не только широкого спектра экономических дисциплин, но и очень глубокой математической подготовки.

Положение, на основе которого работает школа и СУНЦ, включает в себя многое из того, что было и в первом положении о школе-интернате. Однако имеются и существенные отличия. Во-первых, СУНЦ является самостоятель­ным подразделением Московского университета и имеет соответствующие права и обязанности, присущие факультетам университета (раньше школы- интернаты имели двойное подчинение — органам народного образования и университету); возглавляет СУНЦ проректор МГУ — сначала это профессор А. В.             Козлов (у него было два заместителя — В.В. Вавилов и И.В. Кривченков), ныне академик РАН, в настоящее время профессор А.В. Сидорович. Кроме того, изменился сам статус школы и ее учеников: появилось звание учащегося Московского университета с соответствующим удостоверением и правами, а также то, что выпускники школы, успешно ее окончившие и получившие ре­комендацию Ученого Совета СУНЦ МГУ, зачисляются на профильные фа­культеты университета без вступительных экзаменов. В школе им. Н           Колмогорова появились кафедры с полнокровными штатными расписа­ниями. Первоначально была создана кафедра математики (зав, доцент

В. В.  Вавилов) и при ней лаборатория информатики (зав. доцент Е.В. Чепурин); впоследствии на основе лаборатории была создана кафедра информатики (зав. кафедрой профессор Ю.В. Шестопалов). Четыре года при кафедре математики работала учебная лаборатория математической экономики, которой заведовал профессор экономического факультета МГУ Черемных Ю.Н. Конечно, кафед­ра математики не возникла на пустом месте; во все предыдущие годы работало так называемое методическое объединение математиков и была соответст­вующая должность — заведующий математическим циклом («завуч по матема­тике»), которую в разные годы возглавляли А.Б. Сосинский, И.Г. Журбенко, A.M. Абрамов, В.В. Вавилов, С.А. Богатый, А.В. Макаров.

Подчеркнем особо, что как и раньше, так и теперь обучение в школе прак­тически бесплатное; та плата, которую приходится платить родителям, являет­ся, в основном, платой за содержание, да и то довольно скромной, так как Мо­сковский университет осуществляет значительные денежные дотации, хотя это и не является простой задачей для бюджета университета. Здесь сказывается неизменная позиция Московского университета в деле обучения и воспитания молодого поколения — образование для талантливых учащихся университета, уже сделавших свой выбор будущей специальности, должно быть бесплатным.

Постановка учебного процесса в школе приближена к вузовской — семест­ровая лекционно-семинарская система, практикумы по математике, зачеты и экзамены в конце каждого семестра. Учебный план школы содержит 39-41 школьный час в неделю в обязательной сетке и 4-6 часов (в зависимости от специализации и семестра) для посещения различных специальных и факуль­тативных курсов. Мы стремимся к тому, чтобы все занятия не только увеличи­вали сумму знаний учащихся, но и систематически воспитывали те качества, которые необходимы любому человеку: уважение к коллективу, ответственное отношение к делу, привычка к систематическом труду, стремление к качест­венному выполнению работы, поиску нового и самостоятельности мышления, упорству в достижении цели. Этим целям, наряду с традиционными формами, служит, в частности, система домашних заданий в виде отдельных тематиче­ских списков, их тщательная проверка и доклады, читаемые учащимися. Школьники принимают участие в работе кружков или специальных семина­ров, где намеренно делается акцент на проведение небольших самостоятель­ных исследований, участвуют в олимпиадах, конференциях, конкурсах реше£ ний задач и т.д.

Кто преподает математику в школе? Из чего же складывается профессио­нальная деятельность преподавателя математики (профессора, доцента, стар­шего преподавателя, ассистента) в школе? Каковы итоги работы кафедры ма­тематики (до 1988 года — математического объединения преподавателей) и что в ее деятельности нужно исправить? Как нужно преподавать математику для талантливых юношей и девушек? Каково содержание математических курсов в программах и их методическое обеспечение? Какова роль и место новых тех­нологий в процессе обучения математики? Какова система домашних заданий и контроль за их выполнением? Как реализуется система непрерывного мате­матического образования: школа — университет — аспирантура -…? Эти и мно­гие другие вопросы приходится решать как администрации школы, так и руко­водству кафедры. Сразу отметим, что некоторая проблема состоит в том, что наши «молодые преподаватели» (которые, как правило, не имеют специально­го педагогического образования) стремятся к тому, чтобы их воспитанники восприняли (выучили) все то, что они сами сумели узнать в школе и в универ­ситете за много лет. Наши ученики не устают критиковать педагогический коллектив школы (начиная с гимна школы) по этому поводу. Трудно удер­жаться, чтобы не поместить здесь одно из многих стихотворений наших уче­ников с этим вопросом связанных (оно написано Ю. Сафроновым в 1978-м году, а, быть может, Р. Складовым в 1980-м году):

Задают нам очень мало,

Что и говорить!

Ну, подумаешь, английский

Взять и повторить.

Ну, подумаешь, анализ

Надо подучить,

Сделать семь задач каких-то,

Быстро объяснить.

Разобрать конспекты лекций,

Выучить и знать, Иматпрактикум легчайший

Выполнить и сдать.

А по алгебре задачи –

Просто чудеса!

У меня на них уходит

Только три часа.

Приготовится к контрольной,

Физику решить,

Сдать зачет, литературу

Малость повторить.

Разобрать, закончить, сверить,

Прочитать, учить,

Написать, перепроверить,

Переповторить.

 Доказать, списать, запомнить,

Съесть, перевести,

 Засмеяться, завихренить

И с ума сойти!

Чтобы разобраться во всех этих проблемах преподавания математики в школе при методическом объединении ранее, а затем уже на кафедре матема­тики эпизодически работал (и работает сейчас) методический семинар (его заседания проходили и в лаборатории у А.Н.Колмогорова, и на мехмате и, ко­нечно, в стенах школы. Правда, ради справедливости нужно сказать, что его эффективность не очень велика; это связано, прежде всего, со спектром выно­симых для обсуждения на нем вопросов, а также с пассивностью преподавате­лей кафедры. Мне представляется, что для повышения значимости работы ка­федрального семинара должна быть некоторая объединяющая всех участников тема, например, «Научные основы школьного курса математики» (см. статьи А. Н.Колмогорова              в журнале «Математика в школе») предполагающая при этом, что после обсуждений на семинаре должны публиковаться наиболее удачные доклады под этим общим названием.

Отметим, что преподаватели кафедры широко участвуют в общественной жизни школы. Футбольно-математическая школа (от ФМШ) собирает много зрителей, когда в первенстве школы, или в товарищеских встречах по футболу (баскетболу, волейболу, шахматам) играют команды школьников против ко­манды преподавателей (много лет существовала «математическая команда» по этим видам спорта; сейчас — сборные преподавателей). Застрельщиками и инициаторами многих туристических походов (например, ставшая традицион­ной «Звездочка») являлись и являются преподаватели математики. Музыкаль­ные вечера и лекции по живописи А.Н. Колмогорова, работа музыкального клуба «Топаз» (Т.Фоменко, В.Пахомов, А.Звонкин), музыкальные программы В. Н. Дубровского, работа Клуба интересных встреч, выпуски «Физико- математического вестника» (более 60 выпусков — бессменный редактор Г.Г. Григорьев) и радиогазеты, КВН, различные театральные постановки (на­чиная с Ю. Кима), математические бои и другие научные соревнования, летние трудовые лагеря в Крыму и строительные отряды в Москве, Смоленске и на Сахалине, учебно-познавательные (и в рамках обмена) поездки за рубеж в Венгрию, Польшу, Югославию, Англию, США и др., литературные чтения (иногда на уроках математики!) и т.д. — все перечислить практически невозможно; во всей этой огромной деятельности активно участвовали и участвуют сейчас сотрудники кафедры математики.

В школе обучаются учащиеся десятых и одиннадцатых классов по трем (в настоящее время) специализациям: физико-математическая, компьютерно — информационная и химическая. Здесь мы остановимся только на организации преподавания математики на первой, не затрагивая других специализаций. На физико-математическом отделении есть двухгодичный поток (4 десятых и 4 одиннадцатых класса) и одногодичный (2 класса). На каждом уроке математи­ки работают одновременно два преподавателя, что позволяет обеспечить ин­дивидуальный подход в процессе обучения. Для осуществления обширной педагогической и воспитательной деятельности, конечно, необходимы препо­даватели, обладающие высокой квалификацией. Существенным моментом здесь является подбор лекторов профилирующих дисциплин, перед которыми стоят непростые задачи: курс должен полностью покрывать обязательную программу массовой школы, он должен быть в русле положения о непрерыв­ной математической подготовке, т.е. обеспечивать быструю адаптацию к уни­верситетским курсам и при этом не дублировать эти самые университетские курсы, он должен расширять кругозор и способствовать поднятию математи­ческой культуры в целом, он должен содержать задачи практического содер­жания и быть тесно увязан с другими школьными дисциплинами. Источником таких преподавательских кадров был и остается Московский университет, его профессора и доценты, аспиранты и студенты, причем зачастую — выпускники нашей школы. Основным критерием при подборе преподавателей всегда явля­лась личная научная и творческая активность, опыт и желание работы со школьниками. Другими критериями при подборе всегда являлся общий уро­вень культуры приглашаемых, их туристические и спортивные достижения и другие личные интересы.

А.Н.Колмогоров очень тщательно подбирал преподавателей (особенно в первые десять лет работы школы) и, прежде чем пригласить в школу, зачастую проводил личные собеседования с кандидатами. Примером этого может слу­жить своеобразный экзамен на даче в Комаровке, куда я был приглашен как для более тесного знакомства, так и для экзамена «за послеобеденным кефи­ром», который состоял из нескольких чисто математических вопросов; на один из них я ответил не полностью — я тогда не знал, что в сечении куба плоско­стью может получиться правильный шестиугольник. Более того, чтобы уком­плектовать штат преподавателей математики и поддержать их, А.Н. Колмогоров держал долгое время на научных должностях в своей лабо­ратории статистических методов А.А. Егорова, Д.И. Гордеева, В.В. Вавилова, О.С. Смирнову (с основными обязанностями в школе). О Д.И.Гордееве следует сказать особо: он окончил механико-математический факультет под научным руководством А.Н. Колмогорова, затем с первых дней работал в школе- интернате №18 при МГУ и очень увлекался живописью; затем он перестал вести активную научную работу — сосредоточился на преподавании в ФМШ и на живописи (в школе в течение 1967 работала мастерская художника Д.И. Гордеева). После рождения известной группы «Двадцать московских ху­дожников» он прекратил свою работу в школе, став профессиональным ху­дожником.

Освобожденными секретарями комсомольской организации в школе (оста­ваясь и преподавателями) работали в разные годы, по рекомендации механико- математического факультета и с одобрения А.Н. Колмогорова, выпускники механико-математического факультета МГУ (в первые годы работал историк Р. Невский) В.В. Вавилов, И.И. Мельников, B.JI. Ковалев, Е.Б. Федоров, А. А.Русаков,    С.И.Карташов, В.П.Колпаков, А.А.Васильев; последним секрета­рем работал физик С.Н.Сергеев. Более того, и директорами школы также были выпускники — математики МГУ и его аспирантуры: И.Т.Тропин, В.Л. Натяганов, Д.Л.Абраров, К.Л.Козлов, Е.А.Ивин; в настоящее время дирек­тором школы им. А.Н.Колмогорова работает доцент А.А.Часовских. Первым директором спецшколы-интерната №18 при МГУ работал также математик — П.А.Кузнецов, после которого эту обязанность выполняла историк Р.А.Острая.

В школе три математические дисциплины: алгебра, геометрия и начала ана­лиза. Стабильных программ этих курсов не существует — они все индивиду­альны, отражают вкусы и опыт работы (не только школьный) лектора, а также накопленный опыт и традиции, сложившиеся в школе. Конечно, эта индивиду­альность программ сказывается только на 20 — 25 процентах от всего отводи­мого на данную дисциплину учебного времени, а в остальном — это сложив­шаяся, и довольно традиционная, тематика. Наличие программ не определяет и, думается, не может определять, содержания дисциплины. Содержание ма­тематических дисциплин складывается из этих самых программ, которые соз­даются и разрабатываются практически ежегодно, с учетом наличия их мето­дического обеспечения, анализа межпредметных связей (в первую очередь с физикой; там также нетрадиционные программы), определения форм контроля за учебной деятельностью учащихся и т.д. Следует особо подчеркнуть, что свои программы и частные методики преподавания мы никому не навязываем и не делаем попыток их распространения «на всех и вся». Однако, как показы­вают различного рода конференции, многие публикации и личные контакты, пересечения наших программ обучения (и даже педагогические приемы их реализации) с программами в других специализированных физико- математических школах как в нашей стране, так и за рубежом, довольно зна­чительны.

Еще одной целью обучения является подготовка к вступительным экзаме­нам в вузы (в нашем случае — это МГУ, МФТИ и др. ведущие вузы). Такая подготовка довольно специфична, требует специальных усилий и достаточно квалифицированных преподавателей. В одногодичном потоке в настоящее время существует дополнительный курс «элементарной математики», которйй полностью нацелен на решение этой задачи (отметим, что ранее, когда часов математики в учебном плане было больше, в основной сетке занятий усилиями А.Н.Землякова и А.Звонкина успешно функционировали курсы «Алгебраиче­ские задачи» и «Геометрические задачи», решавшие ту же задачу подготовки к поступлению в вузы). В двухгодичном потоке обучения такая интенсивная подготовка к поступлению в вузы начинается только в одиннадцатом классе и проходит как на основных занятиях, так и (в основном!) в послеобеденное время в рамках факультатива «Как решать конкурсные задачи?». Довольно долго, такой предэкзаменационной подготовкой занимались ранее А.А.Шершевский, И.К.Сурин, Б.М.Ивлев, Т.Н.Трушанина, И.М.Бовт, А.А.Русаков и многие другие. А.Н. Колмогоров, вопреки расхожему мнению, подготовку к поступлению в вуз считал важнейшей целью математического образования в школе. Он писал: « Учащиеся (и общество также) заинтересова­ны в том, чтобы обучение … подготовило их возможно лучше к предстоящей работе в вузе или специальном учебном заведении». Более того, в школу- интернат приглашались специальные «мастера», выделялись имеющиеся пре­подаватели для необходимого тренинга с учащимися по решению конкурсных задач. Но это никогда не было единственной задачей школы, как это сейчас бывает во многих специализированных школах и классах; считается, что наши основные математические курсы позволяют достигать такого понимания и развития, которые, в основном, позволяют успешно справиься с вступитель­ными экзаменами.

Хотя мы говорим сейчас о трех дисциплинах, которые, обеспечивают пре­подаватели кафедры математики, но в связи с широким распространением микрокалькуляторов, ЭВМ и персональных компьютеров как в массовой шко­ле, так и у нас в свое время появился предмет «Информатика» — его также обеспечивали преподаватели тогда не кафедры, а математического объедине­ния. До реорганизации ФМШ при МГУ на этот предмет отводилось 5 часов в первом семестре 9-х и 10-х классов и 3 часа во втором семестре в этих классах (в одногодичном потоке — 3 часа в обоих семестрах). Начиналось все еще в 1970 году с занятий по военному делу (военрук — М.Г.Авдеев), на которых ребята учились считать тогда на арифмометрах и другой подобного рода тех­нике. С появлением же новой дисциплины этому предмету уделялось значи­тельное внимание. Здесь высока роль Е.Н.Волкова, В.В.Рождественского, Д.Н.Бабина, А.А.Часовских, А.Б.Угольникова, А.В.Макарова, В.В.Макарова, М.Г.Гринчука и др.

Из чего же складывается учебная нагрузка (а она традиционно, как и в уни­верситете, в основном не превышает 12 часов в неделю) и деятельность препо­давателя математики в школе? Все начинается в школе с приема новых уча­щихся, который проходит ежегодно. Для его осуществления нужно подгото­вить экзаменационные материалы и провести вступительные экзамены, при­чем в местах проживания абитуриентов (вступительные экзамены проводятся во всей Центральной части России и в некоторых других регионах), а это тре­бует большой организационной работы и значительных денежных средств; конечно, здесь не обойтись без привлечения аспирантов и преподавателей университета, которые в школе не работают. Часто окончательный прием про­изводится на основе летней школы для абитуриентов, когда успешно выдер­жавшие вступительные экзамены абитуриенты приглашаются в небольшую летнюю школу, по итогам которой и происходит окончательный отбор уча­щихся. Основная нагрузка в работе летней школы (это каникулярное время!) падает, естественно, на сотрудников кафедр математики и физики: программы, разработка курсов, зачеты и экзамены, олимпиады и собственно преподавание.

Летняя физико-математическая школа (ЛФМШ) работает с 1963 года. Идея ее создания возникла одновременно с идеей об организации самой ФМШ при МГУ. В летнюю школу приглашаются учащиеся, добившиеся успеха на пись­менных и устных вступительных экзаменах в школу-интернат, а также некото­рые участники различного рода предметных олимпиад. Программа школы строится так, чтобы помочь учащимся подготовиться к восприятию програм­мы в ФМШ. В первые годы летние школы проходили в Красновидове, затем в г. Пущино Московской области на базе филиала МГУ; в последнее время они проводятся на базе школы-интерната им. А.Н. Колмогорова. Средства на со­держание выделяются университетом. Организация работы летней школы и другие многочисленные хлопоты целиком лежат на школе — интернате. В ЛФМШ — пятидневная рабочая неделя. Система занятий, как правило, лекци- онно-семинарская. Лекций немного: 1-2 часа по каждому предмету в неделю. Учащиеся занимаются 6 часов: 4 часа до обеда и 2 — спустя полтора-два часа после обеда. Традиционно проводятся различные олимпиады и тестирования. Дополнительно к обязательным занятиям для особо интересующихся школь­ников работают два-три кружка. В каждой группе работают одновременно 2-3 преподавателя математики, которые одновременно присутствуют на занятиях, так что во время работы на уроке преподаватель беседует с каждым школьни­ком не менее двух — трех раз. Общение между преподавателями и школьника­ми, конечно, не ограничивается только уроками — школьники в любое время могут получить нужную консультацию. Благодаря такой организации занятия в ЛФМШ проходят в атмосфере дружбы, взаимопонимания и увлеченности.

Содержание курсов в летней школе всегда отбирается таким образом, что­бы разница в уровне подготовки учащихся как можно меньше сказывалась на результатах их работы в ЛФМШ. По каждому предмету проводятся контроль­ные работы, а в конце — зачеты. По итогам работы в летней школе лучшие учащиеся зачисляются в школу-интернат при МГУ. ЛФМШ является удобной базой для экспериментирования с содержанием и методикой обучения школь­ников, интересующихся математикой и физикой, поэтому в летней школе нет раз и навсегда заданных программ.

Расскажем, для примера, о летней школе 1977 года, которая работала в г. Пущино (в ней обучалось около 250 школьников из разных областей страны — учащиеся 9-х и 10-х классов). Из числа преподавателей математики в ней работали: А.Н. Колмогоров, Ю.П. Соловьев, В.Н. Чубариков, В.В. Никулин, А.Егоров,      В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, В.В. Рождественский, С.А. Богатый, В.   Годованчук, Л.В. Богачев, О.В. Селезнев, В.А. Чулаевский, В.К. Семина, В.В. Плескунин, С.Н. Артемов, О.Р. Мусин, В.Г. Никитенко, Л.Г. Ветров, Л.Н. Фахретдинова, Н.В. Теплова, P.M. Давлетов, Т.Н. Трушанина, Н.М. Бовт, Б.М. Ивлев, В.Ф. Пахомов, О.В. Ляшко, Д.И. Гордеев, И.К. Светличнова, Т.П. Старкина (некоторые из них были с семьями, другие — не полный срок). Эти преподаватели вели два курса: алгебра и начала анализа (лекторы: А.Н. Колмогоров и В.В. Рождественский) и геометрия (лекторы: А.Н.Земляков и Ю.П. Соловьев), руководили разнообразными кружками и проводили мате­матические практикумы.

Курс А.Н.Колмогорова для 9-х классов (ныне десятых) состоял из 5 лекций. Его содержание сводилось (по записям С.Н. Артемова) к следующему: Задача о камне, брошенном вверх. Радиоактивный распад. Первообразная и интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Задача о прыгающем мячике. Гармонические колебания. Векторзначные функции и их производные. Циклоида. Теория ча­сов (практикум).

Курс А.Н.Землякова был посвящен группам самосовмещений правильных многоугольников и многогранников. При этом, конечно, не обошлось без точ­ного определения группы, группы подстановок, но с широкими графическими иллюстрациями. Математический практикум: орнаменты на плоскости.

В лекциях и на занятиях у Ю.П.Соловьева тщательно рассматривались классические вопросы, связанные с геометрией треугольника: замечательные точки и линии треугольника, ортотреугольник и педальный треугольник, пря­мая Эйлера и окружность девяти точек, прямая Симпсона, треугольники На­полеона, теоремы Менелая и Паппа и т.п. На примерах разбирались преобра­зования на плоскости, их классификация (преобразования подобия, теоремы Шаля). Разбирались реализации всех 17 кристаллографических групп (здесь имелось задание математического практикума, связанное с правильными пар­кетами на плоскости).

В.В.Рождественский, в основном, на своих лекциях занимался тематикой, связанной с функциями и методами построения их графиков, однако при этом не ограничиваясь функциями только одной переменной. Разбирая решение различных и нестандартных задач с параметрами, например, пришлось изу­чить вопрос о том, сколько касательных можно провести к графику заданной кривой, проходящих через определенную точку плоскости (метод касательных и его обобщения; здесь был также матпрактикум).

В несколько другой манере проходили летние школы на Рубеком озере под г. Ивановом в 1971 году [13] и на базе школы им. А.Н.Колмогорова в 1999 го­ду [93]; см. также [9], [53].

После того, как новый набор учащихся сформирован, начинается тестиро­вание вновь поступивших, выделение слабых звеньев в их подготовке (а она разнородна), т.е. подготовка тестов, их проверка, проведение небольших олимпиад, корректировка программ и их содержания и т.д. После различных обсуждений и дискуссий создаются и уточняются программы по всем матема­тическим дисциплинам, и затем начинается обычная преподавательская рабо­та.

Курс алгебры в двухгодичном потоке состоит из изучения следующих тем: высказывания, множества, математическая индукция. Элементы комбинатори­ки и начала теории вероятностей. Свойства целых чисел и некоторые вычис­лительные алгоритмы. Тригонометрические уравнения. Комплексные числа. Многочлены и уравнения. Многочлены и числовые поля. Перестановки и на­чала теории групп. Задачи на построения и неразрешимость трех классических проблем. Задачи конкурсных экзаменов.

В одногодичном потоке курс алгебры, естественно, отличается от двухго­дичного — здесь, в основном, присутствуют три темы: счетные и несчетные множества. Основы комбинаторики. Делимость и сравнения. Многочлены и уравнения.

В массовой школе курсы алгебры и математического анализа объединены в один. Мы же придерживаемся той точки зрения, что они должны изучаться раздельно. Становлению этой дисциплины в нашей школе способствовали лекционные курсы А.А. Егорова, А.Н. Землякова, Т.Н. Трушаниной, С.Б. Гашкова, О.И. Василенко, В.Ф. Пахомова, Д.И. Гордеева, А.А. Русакова, А.В. Устинова и др.

Общие цели изучения курса геометрии мало чем отличаются от тех целей, которых пытаются достичь в массовой средней (да и высшей) школе. Если говорить о них коротко, то это изучение свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве, формирование пространственных представлений в широком понимании этого слова, развитие логического мышления, подго­товка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин. Учебный план курса геометрии и его реализация при двухгодичном обучении сильно отличаются от учебных планов средних школ (как массовой, так и специали­зированной). Главное отличие состоит в том, что в десятом классе проходит повторительный курс планиметрии и только в одиннадцатом классе изучается систематический курс стереометрии (иногда этот курс начинается во втором полугодии десятого класса, что зависит, в основном, только от руководителя *У|н’») Такой учебный план нам позволяет не только повторить и системати- шромть ошмия, навыки и умения, полученные ранее, но и расширить объем знаний, уделить особое внимание конкурсным экзаменам в вузы, использовать ПК в обучении, развить интерес к изучению математики, реализовать на прак­тике принципы обучения, связанные с развитием математической культуры школьников. Кроме того, такая возможность преподавания позволяет уделить более серьезное внимание по-настоящему прикладным вопросам и использо­ванию ПК, а также не забыть и «деятельность руками» (склеить, построить, сосчитать, нарисовать и т.д.); последнему обстоятельству служат задания ма­тематического практикума (см. ниже). Важное место отводится организации контроля за ходом учебного процесса. Лектор, совместно с другими препода­вателями, разрабатывает тематические списки задач, часть из которых изуча­ется на уроках, часть — в ходе самостоятельной работы. Однако потом все учащиеся без исключений должны сдать этот список задач преподавателю на соответствующем коллоквиуме, предъявив тетрадь с полными записями реше­ний задач и доказательствами теорем. При этом неукоснительным требовани­ем является система оформления: четкие чертежи, выполненные циркулем и линейкой с применением различных цветов, полнота аргументации в решени­ях задач, ясные ссылки на теоремы и ранее решенные задачи.

Так как курс по планиметрии в двухгодичном потоке является, в основном, повторительным, а наши учащиеся уже проявили свой интерес к изучению математики и физики, то это позволяет лекционно затронуть многие вопросы, которые нацелены на качественно иной уровень геометрических знаний и представлений. Приведем тематический список лекций (он меняется год от года), который превышает тот, который удается реализовать на практике — он, скорее, отражает наш опыт работы. Так, например, читались следующие лек­ции: Равносоставленность многоугольников. Задача Дидоны (основное изопе- риметрическое неравенство). Многоугольники на клетчатой бумаге. Формулы Эйлера и Пика. Классификация движений на плоскости (теорема Шаля). Груп­пы самосовмещений фигур. Центр масс и его применение. Геометрия тре­угольника. Классификация преобразований подобия. Инверсия и шарнирные механизмы. Конечные аффинные и проективные плоскости. Теоремы Дезарга и Паскаля. Пучок кривых второго порядка. Принципы исключенного третьего, математической индукции, включения и исключения, Дирихле, непрерывности в геометрии. И многие другие лекции.

При изучении стереометрии характер лекций, конечно, меняется (курс этот учащимися изучается впервые и не за два учебных года, как в массовой школе, а за один), однако наряду с обязательной частью программы на лекции выно­сятся и некоторые дополнительные темы. Например, такие: седлообразная по­верхность. Две проекции. Сечение конуса и кривые второго порядка. Геомет­рия тетраэдра. Многогранники, теоремы Эйлера и Коши. Правильные много­гранники и их группы самосовмещений. Неравносоставленность куба и пра­вильного тетраэдра. Элементы сферической геометрии и тригонометрии. Гео­метрия сфер. Задача о тринадцати шарах. Алгебра скользящих векторов. Принцип Кавальери. Теоремы Гюльдена об объемах. Площадь поверхности и пример Шварца.

В разные годы геометрическими курсами руководили А.Н. Колмогоров, А.Б. Сосинский, В.М. Алексеев, А.Н. Звонкин, A.M. Абрамов, А.Н. Земляков, А.П. Веселов, В.Н. Дубровский, В.В. Вавилов, М.В. Смуров, А.А. Русаков, Ю.П. Соловьев, Н.П. Долбилин, С.А. Богатый, В.Ф. Бутузов и др.

На каждую лекцию отводится один академический час. Продумать такую лекцию довольно трудное дело, т.к. сам отобранный лекционный материал должен быть замкнут и «не растягиваться» на длительное время. Много вре­мени и усилий уходит на препринтную подготовку (когда она делается) тек­стов лекций для учащихся. Кроме того, мы стараемся, чтобы рассматриваемые темы (и курс в целом) имели законченный характер, как это бывает в научном исследовании или научной теории; здесь уделяется место и развитию интереса к ведению (пусть даже самых маленьких) самостоятельных научных исследо­ваний.

Что касается перечня тем, изучаемых на семинарских занятиях, то они практически не отличаются от тех, которые имеются в официальных мини­стерских программах, рекомендованных для специализированных школ и классов. Другое дело — распределение часов; здесь мы следуем своим традици­ям, учитывая тот факт, что в школе (подчеркнем еще раз) обучаются молодые люди, которые в своем большинстве уже проявили стойкий интерес к изуче­нию математики и физики.

Конечно, такая огромная работа под силу только хорошо подготовленным преподавателям, любящим не только свои собственные научные исследования, но которые не могут обойтись без преподавательской и воспитательной дея­тельности с талантливой молодежью, активно желающим расширить свой кру­гозор в «элементарной математике с точки зрения высшей». С уверенностью можно сказать, что, за исключением России, нигде в мире в средних школах и колледжах сейчас нет подобных геометрических курсов.

Курс «Математический анализ» довольно традиционен в школе. И в то же самое время, при его реализации с ним возникают наибольшие дискуссии и хлопоты. Здесь три главные проблемы. Первая — самоуверенность большинства преподавателей: «что-что, а уж математический анализ, да еще на уровне средней школы, мы знаем!». Вторая — это строгость изложения курса и ее уро­вень; по этому поводу (что касается методики изложения) А.Н.Колмогоров всегда считал, что изложение анализа должно быть доступным и наглядным. Он писал (см.[7]): «Опыт наглядного преподавания начал анализа говорит, что эти начала могут быть изложены в форме, в которой они совсем не воспринимаются как что-либо более трудное, чем обычный, чисто алгебраический ма­териал». А третья связана с дублированием университетских программ. Есте­ственно, что первая и третья причины сильно взаимосвязаны друг с другом. Перечень тем курса сегодня напоминает оглавление университетского учебни­ка. А именно: Действительные числа. Последовательность и ее предел. Функ­ции и графики. Предел функции.’Производная и ее применение. Интеграл и его приложения. Числовые ряды и бесконечные произведения. Комплексные числа. Этим курсом руководили и читали лекции очень многие профессора, доценты механико-математического факультета МГУ: А.Н. Колмогоров, В.М. Алексеев, В.И. Арнольд, A.M. Степин, В.А. Скворцов, В.И. Гаврилов, И.Г. Журбенко, О.С. Ивашев-Мусатов, Ю.В. Нестеренко, М.В. Козлов,А. В. Карапетян, Д.Л. Абраров, А.А. Егоров, В.В. Рождественский,В. В. Вавилов, В.Ф. Пахомов, В.Н. Дубровский, Б.М. Ивлев, А.Н. Земляков, В.А. Любишкин, А.П. Веселое, Е.В. Щепин, А.А. Комбаров и многие другие.

При постановке этого курса в первые 10-15 лет существования школы было много экспериментов, которые касались не только конкретных тем, но и об­щей идеологии курса. Тема «Действительные числа» одно время излагалась в достаточно полном объеме и довольно строго (по Коши, по Дедекинду). А.Н.Колмогоров, например, в одном из своих экспериментальных курсов ана­лиза еще в шестидесятых годах попытался построить теорию вещественных чисел, используя операторный подход. В другой раз лекции вводного курса анализа содержали теорию действительных чисел, основанную на аксиоматике скалярных величин, им же и разработанную. От этого, в целом, отказались и здесь не место подробного анализа всех неудач, но главное то, что, во-первых, пятнадцатилетние учащиеся еще не готовы к восприятию такого уровня стро­гости и абстракций (и не только по своему общему развитию), а во-вторых, при таком подходе тратится слишком много учебного времени на тему, кото­рая в глазах большинства детей (да и многих преподавателей) не представляет никакого интереса и довольно скучна. А в школе, да еще специализированной, должно быть всегда интересно учиться. Следует все-таки отметить, что нет- нет, но к вопросу «о строгой теории числа» снова приходится возвращаться. Тезис «действительные числа от бога и поэтому не следует в школе эту тему изучать совсем» также критики не выдерживает. Сейчас, в основном, беско­нечные десятичные дроби возникают в процессе измерения, но акцент на уп­ражнениях делается на рациональные числа и представление их в виде беско­нечных десятичных периодических дробей (длина периода, операции над та­кими дробями и т.д.). Принцип вложенных отрезков (или его эквиваленты), как правило, постулируется.

Предел последовательности и предел функции — главнейшие и основные понятия анализа. Но и здесь не без проблем. Нужно ли заниматься последова­тельностями или сразу следует начинать работать с функциями? Здесь у нас до сих пор нет единогласного мнения (да и может ли оно быть вообще?). Было время, когда знакомство с анализом начиналось с понятия непрерывности (сторонником такого подхода являлся О.С.Ивашев-Мусатов, ученик и после­дователь А.Н.Колмогорова). Мотивировалось это тем, что теория пределов представляет серьезные трудности для начинающего, и тем, что каждый ин­туитивно знаком с непрерывностью из повседневного опыта. В настоящее время понятию предела последовательности отведено определенное место, но акцента на технику вычислений пределов последовательностей нет. Специаль­ное место отводится приближенным вычислениям и работе с погрешностями. Кажется интересным подход, когда для дискретных функций (последователь­ностей) строится соответствующий анализ (конечные разности, формулы сум­мирования, т.е. аналог формулы Ньютона-Лейбница и т.д.); это хороший про­педевтический прием для изучения основных тем математического анализа.

В каком месте курса и в каком объеме изучается тема «Функции и графи­ки»? Может, с нее следует начинать курс анализа в двухгодичном потоке? Где возникает понятие степенной, показательной, логарифмической, тригономет­рических и обратных к ним функций, как они определяются? Изучение эле­ментарных функций в массовой школе начинается в курсе алгебры и задолго до того, как вводится понятие производной. Поэтому учащиеся уже в той или иной мере владеют элементарными методами исследования функций еще до прихода к нам в школу. Но нужно ли противопоставлять элементарные методы исследования функций и их исследование при помощи производных? Может быть, целесообразно в нашем курсе алгебры при помощи элементарных средств (уравнений, неравенств, тождеств) построить возможный запас функ­ций, а уж в курсе анализа поставить эти исследования функций на иную поч­ву? Нужно ли затрагивать функции двух переменных или стоит ограничиться только геометрическими множествами точек, координаты которых удовлетво­ряют некоторым условиям? Нужно ли, хотя бы только лекционно, ознакомить учащихся с функциями комплексного переменного? На все эти вопросы, и многие другие, приходится отвечать при планировании курса анализа. Тема «Производная, интеграл и их применения». Здесь имеется практически почти неразрешимая проблема координации курсов математического анализа и фи­зики. Понятия производной и интеграла физики у нас в школе начинают ис­пользовать прямо с начала десятого класса — это объяснимо и целесообразно. В курсе анализа эти понятия и техника работы с ними появляются значительно позже. Раньше это требование физиков удовлетворялось в летней школе или в рамках короткого обязательного факультатива «Введение в анализ». Сейчас такого факультатива нет, а летние школы проходят эпизодически, но даже ко­гда они есть, указанная тема в последнее время на них не выносится.

Сначала производная, а потом интеграл или наоборот? Иногда мы начинали с интегрального исчисления, а только затем возникала производная; в методи­ческом отношении это довольно любопытный и полезный опыт, да и истори­чески так создавалось дифференциальное и интегральное исчисление. Нужна ли в специализированной школе (типа нашей) тема «Дифференциальные урав­нения»? Мы даем на это однозначный ответ — нужна. В первую очередь это связано с потребностями физики, возможностью ознакомить учащихся с хо­рошими задачами прикладного характера, показать силу методов математиче­ского исследования самых разнообразных проблем в физике, химии, биологии, географии, экологии, экономики и т.д. Зачастую рассматриваются и дискрет­ные гармонические функции (дискретный оператор Лапласа) и задачи, где они возникают по существу и естественно. Ряды Тейлора и Фурье также иногда включаются в наши программы анализа. Ряд Тейлора, как правило, только с интегральной формой остаточного члена. При рассмотрении же рядов Фурье мы ограничиваемся только тригонометрическими многочленами, сложением гармонических колебаний и явлением Гиббса.

Еще одна проблема построения и организации курса анализа связана с те­мой «Комплексные числа». Если говорить о тех разделах этой темы, которые изучаются в большинстве специализированных школ страны, то здесь сущест­венных отличий нет. Более того, не всегда эта тема присутствует в наших про­граммах. Однако когда мы ее включаем, то здесь изучаются дробно-линейные отображения, основная теорема алгебры (часто с доказательством), модель Пуанкаре плоскости Лобачевского с довольно серьезными продвижениями, комплексная экспонента (здесь неоценим опыт и педагогическое мастерство А.А. Егорова — нашего старейшего преподавателя и лектора, реализовавшего на практике многие из методических задумок А.Н. Колмогорова). Комплекс­ная тематика богата заданиями математического практикума (см. перечень тем ниже).

Одногодичный поток обучения в школе требует особого подхода: дело в том, что наши воспитанники уже знакомы и с понятием предела последова­тельности и производной (эти темы входят в общеобразовательную программу 10 класса). Поэтому отбор тем программы приобретает некоторую проблему. Не углубляясь здесь в тонкости, отметим интересные эксперименты А.Н.Землякова (с акцентом на дифференциальные уравнения и их приложения в задачах механики) и Е.В. Щепина (с широким использованием теории схо­дящихся и расходящихся рядов, а также основ теории аналитических функций и их интегрирования).

Опыт работы нашей физико-математической школы оказал значительное влияние (а сама школа служила экспериментальной площадкой) на идеи мо­дернизации школьного математического образования в стране, проводимой в шестидесятых и семидесятых годах уже прошлого столетия, и которая осуще­ствлялась под руководством А.Н.Колмогорова. Реформа тогда явно назрела (это мнение разделяли все здравомыслящие ученые и работники народного образования), т.к. школьный курс математики пришел в значительное проти­воречие с жизненными потребностями общества в математических знаниях, умениях и навыках, которыми не обладали выпускники школ. Реформирова­ние школьного образования, да еще в многонациональной и огромной стране, — дело далеко не простое: разработка программ и методических приемов, созда­ние учебников и задачников требует значительного времени и глубоких экспе­риментов. Именно в самый разгар этой работы в авторские коллективы новых учебников по курсам геометрии, алгебры и началам анализа А.Н. Колмогоровым были включены сотрудники школы, бывшие ее ученики и воспитанники Московского университета (Б.М.Ивлев, А.М.Абрамов, А.Н.Земляков, А.Б.Сосинский, В.А.Гусев, А.А.Шершевский). После создания журнала «Квант», где первым заместителем главного редактора был А.Н.Колмогоров, по его приглашению в составе редколлегии работали многие преподаватели нашей школы: А.А.Егоров (работает с первых дней и по на­стоящее время), А.Н. Земляков, В.В.Вавилов, А.Б.Сосинский, Ю.П.Соловьев, В. Н.Дубровский, Н.П.Долбилин (последние четверо работают и сейчас).

Начиная с 1961 года, когда была организована первая Всероссийская мате­матическая олимпиада и создана соответствующая методическая комиссия (ее возглавил А.Н. Колмогоров и руководил ею бессменно в течении более чем 20 лет; затем ее возглавил Б.В. Гнеденко, а в настоящее время ее возглавляет Г.Н.Яковлев из МФТИ); его заместителями в разное время являлись Н.Б.Васильев, А.Н.Земляков, М.И.Башмаков, Н.Х.Розов, В.В.Вавилов. Из чис­ла преподавателей школы-интерната при МГУ в работе методической комис­сии и в подготовке олимпиадных задач активную роль играли А.А. Егоров, A.M. Абрамов, Б.М. Ивлев, В.Н. Дубровский, Ю.В. Нестеренко, A.M. Слинько,С. Б. Гашков, М.В. Смуров, И.Н. Сергеев, О.В. Ляшко, О.Р. Мусин, А. Б. Скопенков и многие студенты и аспиранты механико-математического факультета МГУ — выпускники школы-интерната №18 при МГУ (много лет на факультете работал семинар «Олимпиадные задачи», где они были, пожалуй, самыми активными участниками). Подготовкой команды страны для участия в Международных математических олимпиадах и научного руководства ею в период самой олимпиады руководили в долгое время В.А.Скворцов, Е.А.Морозова, А.Н.Земляков, А.М.Абрамов, В.В.Вавилов — все так или иначе тесно связанные с ФМШ при МГУ.

На Всероссийских, а затем на Всесоюзных олимпиадах школы-интернаты при университетах г. Москвы, Новосибирска, Ленинграда и Киева были пред­ставлены по положению своими собственными командами (сейчас этого нет). Поэтому в этих интернатах уделялось специальное место для «олимпиадой подготовки». Так, в нашей школе работал специальный семинар, на котором разбирались различные олимпиадные задачи и методы их решений, решались вновь придуманные и т.д. Этим семинаром руководили Б.М. Ивлев, В. В.Вавилов, А.А. Егоров, В.Н. Дубровский и др. Проводилось (и проводится сейчас) много самых разнообразных тестирований, олимпиад, матбоев и т.п. В настоящее время этим занимаются А.Б.Скопенков и В.А.Колосов, а наши школьники и сейчас выступают довольно успешно на различного рода олимпиадах, в турнирах и конкурсах.

А.Н.Колмогоров, однако, призывал школьников очень осторожно относить­ся к успехам на олимпиадах. В предисловии к книге [38] он, например, писал: «Участие в школьных математических кружках и олимпиадах может помочь каждому оценить свои собственные способности, серьезность и прочность своих увлечений математикой… Желая … всяческих успехов в решении задач и побед на школьных, городских, Всероссийских олимпиадах, я хочу в то же время заметить, что пути к серьезной работе в области математической науки разнообразны. Одним легче дается решение замысловатых задач, другие вна­чале не выделяются на этом поприще, но, двигаясь медленно, овладевают глу­боко и серьезно теорией и несколько позднее научаются работать самостоя­тельно. В конечном счете при выборе математики как предмета основных ин­тересов и работы на долгое будущее каждый должен руководствоваться собст­венной самооценкой, а не числом премий и похвальных отзывов на олимпиа­дах…».

Особое место в системе организации учебного процесса в школе им. А.Н.Колмогорова занимают практикумы; это, по существу, единственное, что отличает одну школу от другой. При этом, говоря о математических экспери­ментах (практикуме), речь идет не только о тех вопросах постановки матема­тического образования, где сливаются математика и информатика, но и просто о чертежах, расчетах, графиках, схемах, построениях моделей, составлении таблиц, решении задач и т.д. Кроме того, здесь преследуются и более серьез­ные цели ([2]): «привить вкус к конкретной, реальной математике, иллюстри­ровать наиболее тонкие теоретические разделы курса, показывать силу только что освоенных методов при решении практических задач». Задания практику­ма состоят из одной или нескольких ступеней: от очень конкретной до иссле­довательской. Начальная часть обязательна для всех учащихся, исследование — только для желающих; задания содержат также темы творческого характера для проведения самостоятельных исследований. Все задания практикума стро­го индивидуализированы и сдаются учащимися индивидуально. Довольно зна­чительный промежуток времени в учебном плане школы был отдельный предмет (1970-1988), которой так и назывался «Математический практикум»; при этом был предусмотрен один лекционный час (на постановку заданий) и время на консультации и прием заданий. Во время «гуманитаризации» школь­ного образования вместо 12 часов в неделю на математику в сетке часов оста­лось только девять. Возможно, это было ошибкой — в специализированной школе при МГУ такого уровня, с хорошо организованными и согласованными курсами по естественным дисциплинам. Уменьшение часов сказалось и на математическом практикуме. В настоящее время только отдельные преподава­тели уделяют ему внимание. Попутно отметим, что программы по информати­ке содержат некоторую составляющую «вычислительного практикума», но соответствующие задания служат несколько другим целям.

Это А.Н. Колмогоров, со всей настойчивостью, реализовал сначала в уни­верситете, а затем и в школе такое нововведение в нашей стране. Он сам и ру­ководил, поначалу, этими практикумами, сам придумывал новые постановки задач, используя, при этом, зачастую самые современные научные достиже­ния. Именно эта конкретная и вычислительная работа плюс постановка задач при выполнении заданий практикума в школе не на словах, а на деле показы­вает силу математических методов исследований в нашей жизни и в научных исследованиях, осуществляет прикладную направленность математического образования в школе и устанавливает межпредметные связи. Общие установки при создании практикума в школе А.Н. Колмогоров описывал так: « Часы ма­тематического практикума, проводящегося, в идеале, одновременно для всего потока, используются частично для унификации требований к различным классам письменных контрольных работ, состоящих из серии задач обычного школьного типа. Но в основном эти часы отводятся для выполнения работ большого объема, требующих больших вычислений и чертежного оформле­ния. Например, фактически осуществляется программа оценки числа Пи, по­сле изучения в классе движения по циклоиде исследуются графически более сложные случаи сложения движений, находятся и изображаются графически решения системы дифференциальных уравнений последовательного радиоак­тивного распада… В проведении практикума участвуют преподаватели, рабо­тающие в классах, но отдельная небольшая группа преподавателей его органи­зует и готовит для него материал».

Тематика заданий математического практикума в годы его полнокровной жизни была очень разнообразной (ее создатели А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, А.Б. Сосинский, A.M. Абрамов, В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, В.Н. Дубровский, Н.М. Бовт, Т.Н. Трушанина и многие другие). Приведем здесь перечень тем заданий, который намного превышает необходимый двух­годичный минимум (15-20 работ за весь период обучения) и отражает, скорее, наш многолетний опыт работы.

Методы вычислений: Приближенное вычисление корней уравнений. Чис­ло ПИ. Графические методы решений уравнений и систем. Метод Гаусса. Две задачи линейного программирования. Итерации. Метод секущих и касатель­ных Ньютона. Номограммы. Графостатика. Численное дифференцирование и интегрирование. Разностные уравнения. Дискретные гармонические функции. Непрерывные дроби. Задачи на клетчатой бумаге. Магические квадраты. Ко­нечные поля и латинские квадраты. Неприводимые многочлены.

Функции и графики: графики дробно-квадратичных рациональных функ­ций. Фигуры Лиссажу. Кривые Уатта. Циклоиды. Розы и розетки. Годографы. Эволюты циклоидальных кривых. Кривые второго порядка. Пучок кривых нторого порядка. Ортогональные семейства кривых.

Геометрия: Измерения на местности. Построение циркулем и линейкой. Модели многогранников. Сечения многогранников. Две проекции. Вычисле­ние объемов и площадей. Орнаменты. Группы самосовмещений плоских фи­гур и правильных многогранников. Круговые преобразования плоскости. Тео­ремы Паскаля и Дезарга и построение при помощи одной линейки. Инверсия и построения при помощи только циркуля. Навигация. Расчет лунных затмений. Конечные аффинные и проективные плоскости и пространства.

Математический анализ: Интерполяция и сплайны. Квадратурная форму­ла Гаусса. Расчет полета многоступенчатой ракеты. Космические поезда. Диа­граммы касательных. Прыгающий мячик. Изоклины. Радиоактивный распад. Фазовые портреты. Теория часов. Две экологические модели. Полет диска в сопротивляющейся среде. Динамическое программирование. Аэродинамиче­ская задача Ньютона. Тригонометрические многочлены и ряды Фурье. Профи­ли собственных колебаний натянутой нити с бусинками.

Комплексный анализ: Дробно-линейные преобразования. Расположение ком­плексных корней многочлена, зависящего от параметра. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Линии равного модуля и аргумента. Области одно­листности многочленов. Фракталы.

Теория вероятностей: Доска Гальтона. Модель размножения и гибели. Случайные блуждания. Датчики случайных чисел. Криптография и расшиф­ровка текстов.

Несмотря на то, что задания практикумов строго индивидуализированы, мы ни в коем случае не препятствуем взаимным консультациям в «домашней ста­дии» выполнения работы. Результаты выполнения работ обсуждаются в клас­се. Это тем более оправданно, что в результате работы учащихся часто появля­ется полное исследование, полный каталог, полная классификация и т.д. В ка­честве примеров отметим, что в процессе работы была создана коллекция кар­тонных моделей всех полуправильных многогранников (которая, к сожалению, не сохранилась), решены все задачи на построение треугольника циркулем и линейкой по некоторым заданным параметрам (выбирая их из двадцати воз­можных и, как правило, по три), описаны все тринадцать возможных типов кривых Уатта (а впоследствии и доказано, что других нет), построены 17 раз­личных типов графиков дробно-квадратичных рациональных функций и соз­дан полный каталог их диаграмм касательных (и потом доказано, что других не бывает), построены все одиннадцать различных мозаик на плоскости (с полным обоснованием, что это полный перечень), для многочленов пятой сте­пени описаны все возможные картинки их областей однолистности, в опреде­ленной модели описанные все возможные траектории полета «летающей таре­лочки» и т.д., и т.п. В уже опубликованных воспоминаниях учеников А.Н.Колмогорова выражено сожаление о том, что утрачены и пока не подда­ются восстановлению материалы математического практикума на мехмате МГУ. Однако у нас в школе соответствующие материалы практически все со­хранились и ждут своей публикации; судить об их характере можно по публи­кациям [54], [55], [56], [58], [59], [60], [61], [62], [63].

Значительную часть в учебном процессе занимают факультативные заня­тия, различные специальные лекционные курсы, спецсеминары и кружки. Эти специальные курсы и семинары все, как правило, посвящены дополнительным главам к основным читаемым курсам. Их тематика очень разнообразна, год от года меняется и отражает скорее научные интересы, которые присущи их ор­ганизаторам. Не претендуя на полноту, приведем некоторые темы этих курсов (получившие одобрение преподавателей и учащихся), которые скажут сами за себя. Это: олимпиадные задачи, задачник журнала «Квант», симметрия много­гранников, теорема Абеля, конечные поля и конечные геометрии, геометрия Лобачевского, теория Галуа, элементы математической логики, элементы тео­рии вероятностей и математической статистики, экстремальные задачи, введе­ние в кибернетику, теория колебаний, элементы теории чисел, история мате­матики, теоремы Геделя, группы и графы, введение в топологию, комплексный анализ, бильярды, высшая математика с точки зрения элементарной, кривые на плоскости, что такое фрактал?, геометрический кружок, дополнительные гла­вы анализа и их приложения в динамике, введение в теорию динамических систем, динамическая геометрия и геометрическая динамика, сложность бу­левских функций, алгебра и теория чисел, элементарная математика, матема­тический семинар и многие другие кружки, семинары, спецкурсы (иногда «просто по случаю»).

В 2002-03 учебном году на кафедре математики школы им. А.Н.Колмогорова при Московском государственном университете работают: профессора Виноградов О.П. (зав.каф.), Шавгулидзе Е.Т., Бутузов В.Ф., Тре- щев Д.В., Макаров А.В., Сергеев И.Н; доценты Часовских А.А., Дубров­ский В.Н., Довбыш С.А., Русаков А.А, Вавилов В.В., Носов М.В., Скопен­ков А.Б., Рождественский В.В., Нараленкова И.И.; ст. преподаватели Семено­ва Т.Г., Шкаликова Н.А., Сыркин Г.И., Егоров А.А.; ассистенты Егоров Ю.Е., Алексеев Д.В., Баштова Е.Е., Шарыгин Г.И., Швец А.Н., Николаев Ю.П., Ев- докименко А.П., Степанов А.А., Селиванова И.Ю. (уч. секретарь кафедры), Долгалева О.Е., Бочкарева Е.Э., Прошкина А.В.; стажеры РугольВ.А., Мыч- ка А.Ю.; научный сотрудник Колосов В.А. и мл. научный сотрудник Шивринская Е.В.

 

Библиография:

Здесь приведены публикации, частично отражающие историю становления и развития школы им. А.Н.Колмогорова, а также те из работ, которые тесно связаны с некоторыми методическими вопросами преподавания математики в нашей школе (конечно, этот список публикаций неполон и требует дополни­тельной работы по его уточнению, — мы будем рады за оказанную помощь).

  1. КОЛМОГОРОВ в воспоминаниях. Редактор-составитель Ширяев А.Н. // М.: Физматлит, 1993.
  2. Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. // М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999.
  3. Колмогоров А.Н. К обоснованию теории вещественных чисел // «Матема­тическое просвещение», 2 (1957), стр. 169-173.
  4. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. Юношеские математические школы. // Вест­ник высшей школы, 11 (1959), стр.66-69.
  5. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики. // «Математика в школе», 4(1965), стр.53-62.
  6. Колмогоров А.Н. Шаг в науку. // Газета «Московский университет», 10.12.1966.
  7. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В. Физико-математическая школа при Мос­ковском государственном университете им. М.В. Ломоносова. // «Квант», 1(1977), стр. 2-5.
  8. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В., Тропин И.Т. ФМШ при МГУ — 15 лет. // «Квант», 1(1979), стр. 55-57.
  9. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В., Тропин И.Т. Физико-математическая шко­ла при МГУ. // М.: Знание, 1981, 64 стр. (Новое в жизни, науке, технике. Се­рия: Математика и кибернетика. №5).
  10. Ю.Колмогоров А.Н. Школа-интернат при университете. Для чего она? // «Ма­тематика в школе», 2(1974), стр. 58-60.
  11. Колмогоров А.Н., Гусев В.А., Егоров А.А., Сурков Е.Л. Физико- математические школы-интернаты. // «Квант», 1(1970), стр. 58-59.
  12. Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым, (беседу записал Д.Б. Сосинский). // «Квант», 4(1983), стр. 15-18.
  13. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Пухова Г.В., Смирнова О.С., Смирнов С В. Летняя школа на Рубеком озере. // М.: Просвещение, 1971.
  14. Колмогоров А.Н. Физико-математическая школа. // Учительская газета, 1964,11 февраля.
  15. Колмогоров А.Н., Гусев В.А., Сосинский А.Б., Шершевский А.А. Курс математики для физико-математических школ. // Изд-во МГУ, 1971, 223 стр.
  16. Колмогоров А.Н. О скалярных величинах. // «Математика в школе», 1986), стр. 32-33.