Светлой памяти
Анатолия Ивановича Мальцева
Статья посвящена обзору результатов, связанных с известной проблемой Бернсайда о периодических группах. Отрицательное решение этой проблемы было впервые опубликовано в серии совместных статей П. С. Новикова и автора в 1968 г. Созданная в этих работах теория преобразований слов в свободных периодических группах и ее различные модификации являются наиболее продуктивным подходом в исследованиях трудных проблем теории групп. В 1950 г. от проблемы Бернсайда отпочковалась другая проблема, относящаяся к конечным периодическим группам, которую сформулировал В. Магнус под названием “Restricted Burnside problem”. Мы называем эту проблему проблемой Бернсайда–Магнуса. Если в проблеме Бернсайда вопрос ставился о локальной конечности периодических групп данного периода, то в проблеме Бернсайда–Магнуса речь идет о существовании максимальной конечной группы R(m, n) фиксированного периода n c данным числом порождающих m. Эти проблемы как бы дополняют друг друга.
Публикация в 1987 г. в совместной работе автора и А. А. Разборова первого эффективного доказательства известного результата А. И. Кострикина о существовании групп R(m, n) при простых n c указанием примитивно рекурсивной оценки порядков этих групп явилась толчком для активизации исследований и по этой проблеме. Вскоре появились и другие эффективные доказательства этого результата, а затем Е. И. Зельманов распространил этот результат на случаи, когда n есть степень простого числа. Этим исследованиям посвящен последний раздел статьи.
Библиография: 105 названий.
Ключевые слова: проблема Бернсайда, бесконечные периодические группы, тождества в группах, периодические слова, лиевы алгебры, проблема Бернсайда–Магнуса, условие Энгеля.
Содержание
1. Исторический очерк
2. Краткое описание теории Новикова–Адяна и первые результаты
3. Другие свойства свободных периодических групп нечетного периода
4. Независимые системы групповых тождеств
5. Конечно порожденные некоммутативные аналоги группы рациональных чисел
6. Периодические произведения групп
7. Некоторые результаты других авторов
8. Проблема Бернсайда–Магнуса, эффективные оценки
Список литературы