Немного истории. Школа им. А.Н. Колмогорова Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова обучает юношей и девушек, которые любят учиться и уже проявили стойкий интерес к углубленному изучению той или иной дисциплины. Своих питомцев школа не причисляет к довольно расплывчатой группе «одаренные дети», а ее основное предназначение состоит в создании условий для воспитания и развития у учащихся пытливого и творческого отношения к обучению, в подготовке их к обучению в вузе и к раннему приобщению к научной работе.

Школа была открыта сорок пять лет назад (раньше она называлась физико-математической школой-интернатом № 18 Мосгороно при МГУ) и задумывалась она, прежде всего, как школа научного творчества для молодежи, куда на конкурсной основе принимались и принимаются сейчас школьники из Центральной России. Школа небольшая (около 350 учащихся) — в ней только десятые и одиннадцатые классы; имеется как двухгодичный цикл обучения, так и одногодичный. Специализаций обучения в настоящее время четыре: физико-математическая, компьютерно-информационная, химическая и биологическая. Говоря о школе научного творчества, мы имеем в виду не только профилирующие дисциплины. Так, выступая на одном из заседаний педагогического совета, основатель школы А.Н. Колмогоров специально выделял эту учительскую задачу: «Существенно, что здесь в интернате, школьники приходят в соприкосновение с творческой мыслью. Это наш запрос, но по всем предметам!.. Метод работы — имитация научного исследования, шаг за шагом находить, вычислять нечто…, а не давать готовенькое… «. В 1988 году на базе школы-интерната был организован Специализированный учебно-научный центр МГУ (куда вошла и школа), который стал самостоятельным структурным подразделением Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова со всеми его атрибутами: возникло звание «Учащийся Московского университета» с соответствующим удостоверением, правами и обязанностями обучающихся, появились кафедры, ученый совет, выпускники школы при наличии рекомендации ученого совета Центра зачисляются в МГУ без экзаменов и т.д. Более подробно о школе и истории ее развитии см. [1], [2], [7], [12], [13].

Отметим здесь, что наша школа является государственной (родители всё же платят немного за пансион), но не находится в рамках «всеобуча» — мы отчисляем из школы тех, кто грубо нарушает дисциплину или не справляется с нашим учебным штаиом.

Автор статьи — математик и поэтому дальше, в основном, речь идет о математической составляющей учебного процесса.

Учащиеся. Каждый год происходит прием новых учащихся, который начинается в апреле. Для его осуществления проводятся вступительные экзамены, причем в местах проживания абитуриентов. Часто окончательное решение о зачислении принимается после работы летней школы (см. [3]), куда приглашаются все успешно выдержавшие вступительные экзамены (в ней несколько недель учатся, затем сдают еще раз экзамены). То есть к нам поступить довольно трудно, и сам факт участия школьников во вступительных экзаменах означает, что они уже серьезно задумались о качестве своего образования, о своей будущей специальности, жизни и деятельности. При проведении вступительных экзаменов по математике мы, в первую очередь, стремимся отобрать среди наших абитуриентов тех школьников, которые не только обладают определенной суммой знаний, но и проявляют стойкий интерес к учебе, умеют решать нетипичные задачи и логично рассуждать, хорошо восприимчивы к изучению нового материала.

После всего перечисленного, так и хотелось бы здесь написать, что мы ежегодно желаем отобрать талантливых, способных, одаренных (кстати, по-моему, эти слова синонимичны; по крайней мере, в бытовом понимании их значений). Но… это невозможно сделать хотя бы потому, что такого количества (прием — около 150 человек) талантливых и «наших» детей просто нет. И не нужно забывать, что специализированных школ и классов в стране много, все хотят и любят работать со способными, трудолюбивыми, инициативными, дисциплинированными юношами и девушками. Вторая важная причина неразрешимости задачи «отбора одаренных» состоит в том, что никто из нас не в состоянии только по итогам вступительных экзаменов, выступлений на олимпиадах, сведениях о текущей успеваемости, на основе тестирований определить всего за несколько встреч наличие способностей ученика. Само понятие одаренности, которого придерживается большинство психологов, не предполагает наличия каких-то одномоментных качеств, а характеризуется постоянно развивающимся состоянием психики человека и проявляется в период всей его активной жизни. А на экзаменах ничего «развивающегося» не разглядеть (в отличие от летней школы для наших абитуриентов!).

Поэтому основная цель на наших вступительных экзаменах — это отобрать тех, кто умеет- спокойно разобраться в вопросе, где требуется не только (и не столько) определенный багаж знаний, а умение использовать этот багаж в нестандартной ситуации. На экзаменах по математике очень легко проверить наличие конкретных программных школьных знаний, умений и навыков. Для этого большого искусства от экзаменаторов не требуется. Гораздо сложнее и важнее выявить умение логично рассуждать и, желательно, нестандартно. Хотелось бы, конечно, отобрать в школу также молодежь, которая хотя бы в небольшой степени уже обладает задатками математического мышления. Причем не формального мышления (то есть такого, которое базируется на аксиомах, определениях, на знаниях формул и алгоритмов), а того, которое включает способность рассуждать по аналогии, умение обобщать рассмотренные частные случаи, выделять математическое содержание в анализируемой ситуации и т.д. Но все это можно обнаружить при наличии устного вступительного экзамена, который много лет и проводится (в последнее время он иногда заменяется очной письменной вступительной работой). Для отбора желаемых школьников у математиков имеются специальные приемы. Ряд из них состоит в проверке понимания основных математических принципов, причем на задачах из разных разделов математики. Таких, как принцип математической индукции, включения-исключения, Дирихле, исключенного третьего и т.д. При этом, часто используются так называемые задачи на доказательство, задачи на построение каких- либо специальных конструкций, задачи «на угадывание» (когда требуется сначала угадать формулу или ответ, а потом уже провести необходимое рассуждение), задачи, в которых требуется установить существование чего-либо, но сам численный ответ выписать невозможно (задачи «на существование и отсутствие»), чисто логические задачи и разные их разновидности, задачи исследовательского характера и т.п. Головоломками, задачами олимпиадного типа (задачами «с изюминками») мы не увлекаемся.

Преподаватели. Прием учащихся в школу состоялся. Теперь нужно детей учить и воспитывать. И здесь не самая важная проблема определить чему учить, так как круг необходимых программных вопросов и тем для изучения, в основном, давно сложился, используется всеми специализированными школами и здесь имеется богатый методический материал и опыт его преподавания. Гораздо важнее определить: как учить и как воспитывать? А работать нужно с детьми, которые пришли из разных школ страны и, как правило, все они были отличниками в своих школах, активными и популярными личностями, что создает определенную и довольно сложную социокультурную внутришкольную среду шестнадцатилетних юношей и девушек. Многие из них впервые в столице, причем не на экскурсии, а как ее жители, со всеми историческими, культурными ценностями и соблазнами мегаполиса. Им придется целыми днями общаться вместе: учиться, отдыхать, кормиться, жить в общежитии (москвичей в школе немного), самостоятельно решать многие бытовые вопросы, резвиться, смеяться и плакать, сопереживать и т.д. А главное, им придется много и упорно работать — учебный план школы содержит много дисциплин, все они с довольно обширными программами и общее число только обязательных уроков составляет более сорока двух часов в неделю. Круме .того, по учебному плану все учащиеся должны прослушать и сдать два специальных курса по выбору, один их которых — гуманитарный, выполнять задания специальных практикумов по информатике, математике, физике, химии.

Учебная деятельность в школе складывается, естественно, из деятельности обучающего и деятельности учащегося (напомним, что в школе сейчас нет должности учителя, а работают профессора, доценты, старшие преподаватели, ассистенты). Поэтому все, кто переступает порог школы, включены в систему общественных отношений, в коллективную деятельность — и эта форма сотрудничества направлена на достижение общих целей. Как бы тщательно мы не отбирали учащихся Московского университета, их уровень учебной подготовки и развития разный и выделить так называемую «точку отсчета», единую для всех невозможно (которой и быть не может, так как она в основе своей связана с индивидуальными особенностями развития личности). Ясно, что со вновь поступившими проводятся предметные тестирования, основная задача которых направлена уже не только на то, чтобы выяснить уровень знаний, умений и навыков, приобретенных ранее, а и для того, чтобы адекватно составить и уточнить учебные планы хотя бы на один семесф, представить себе имеющиеся навыки общения школьников с компьютером, выявить учащихся с «олимпиадными» качествами, определить их языковую подготовку (включая русский язык), физическую подготовку и т.д. Отсутствие единой основы математической подготовки у вновь поступивших обязывает нас широко использовать индивидуальные подходы в процессе обучения, что крайне важно и, особенно, в первом семестре. Это в школе достигается за счет того, что в довольно небольшом классе на профилирующих дисциплинах работают одновременно два преподавателя, один из которых проводит общую линию урока, а оба вместе непосредственно за рабочими столами учеников отвечают на их вопросы, разъясняют непонятные места, подсказывают, поясняют, рассказывают что — то интересное и новое именно для этого ученика. Наличие двух преподавателей в классе — это важный момент в организации всего обучения специальным дисциплинам. Это, конечно, дорогое удовольствие для Московского университета, но оно стоит того — школа качественно готовит его будущих студентов и аспирантов, а в конечном итоге, и будущее научное поколение страны.

Обучение и изучение. В данной статье речь идет о постановке преподавания математических дисциплин, хотя многое из того, о чем пойдет речь, относится и к другим предметам (и не только нашей школы). Математических предметов у нас в школе три (а не два, как в, массовой школе): Геометрия, Алгебра, Математический анализ и на них в обязательной сетке сейчас отведено 9 часов в неделю. До «кавалерийской гуманитаризации» школьного образования их было 12-14. Такое снижение числа часов на математику является одной из самых неприятных ошибок, которую приходится исправлять с большим трудом, и процесс этот болезненный и длительный. Система преподавания лекционно-семинарская и приближена к вузовской. Лекций немного и они по математике одночасовые. Подготовить такую лекцию для школьников довольно хлопотное дело, так как за короткое время нужно изложить что-то законченное и вызывающее неподдельный интерес у слушателей. Интерес к обучению и изучению очень многое определяет в школьной жизни, в ее общей учебной атмосфере, и он достигается, главным образом, строгим отбором изучаемого материала, стилем его изложения, мастерством лектора и преподавателя, их заинтересованностью в результатах своего труда, а также и … популярностью лектора и преподавателей у учащихся. Сказанное в равной степени относится как к лекциям, так и к текущим урокам по математике, которые у нас сдвоенные.

В школе всегда должно быть интересно именно учиться, а не «бывать» в ней. Познавательный интерес к изучению предмета (к теме, к домашнему заданию, к олимпиаде, к специальному дополнительному курсу, кружку, …) не может присутствовать постоянно, так как сам процесс изучения, выбор тем и последовательность их изложения, обучающимся навязан. Правда, на специальных курсах после обязательных уроков, которые посвящены тренингу решения задач вступительных экзаменов всегда много учащихся и их интерес в течение всего периода обучения несомненен.

Но такие курсы и нельзя считать навязанными, так как они нацелены на решение той из конкретных задач, ради решения которой школьники, в основном, и поступали в нашу школу; более того, учащиеся сами заказывают темы, а часто и конкретные типы задач, которые в таких курсах целесообразно рассмотреть. Другой крайний пример — короткая самостоятельная (контрольная) работа. Кому, кроме преподавателя, это действительно интересно? Хотя встречаются и такие школьники, которым они нравятся, но их мало.

Напрямую с интересом изучения связана неизбежно возникающая избирательность познавательной активности учащихся на уроках и, тем самым, их ценность и эффективность для них. В этом приходится убеждаться постоянно, и примеры долго искать не надо (не говоря уж о занятиях посторонними делами на некоторых уроках математики). Активность в обучении не возникает сама по себе, а связана с отношением ученика к той учебной работе, которую ему предлагают выполнять, и, пожалуй, ее развитие и поддержку накрепко связаны с тщательной продуманностью отобранного преподавателем материала для изучения и манерой его преподнесения. Часто говорится, что преподавание — это искусство, что учитель — это актер и т.д. И это правда, но всё-таки определяющим здесь является профессиональная подготовка преподавателя к данному уроку или к данной лекции, а уж потом «актерская деятельность». При подготовке к занятиям преподавателю приходится отвечать на множество своих собственных вопросов. Можно ограничиться только вычислениями и не привлекать для этого геометрических средств, а можно их и привлечь, а тогда быть может, станет интереснее и считать; можно решать задачу с конкретным ответом и сверить его с тем, что имеется в книге, а часто можно эту же задачу переделать в исследовательскую; можно всем классом провести некоторую классификацию, когда каждый из учеников выполняет свою конкретную задачу, а в итоге работы всего класса возникает перечень, каталог, таблица, схема, …, а можно вообще исключить такого рода деятельность; можно ограничиться одним решением задачи, а можно разобрать несколько различных ее решений; можно рассказать о конкретных важных задачах и об истории их математической жизни, а можно ограничиться фамилиями ученых, их решивших; можно не иметь задач с практическим содержанием, а можно их постоянно включать в обиход на уроке; можно затеять устный опрос у доски, который, как правило, отнимет дорогое учебное время у большинства школьников, а можно просто провести коллоквиум для всех; можно дать контрольную работу, которую мало кто решит, а можно дать нормальную, которая действительно покажет, кто из учеников не усвоил основного материала по теме; можно придерживаться только индуктивных построений, а можно подключить и дедуктивные; можно использовать только одну книжку, а можно несколько; можно специально подобрать несколько задач для наиболее сильных учеников, а можно ограничиться просто «опережаюшим темпом» в ходе урока и использовать материалы, подготовленные для всех; можно принести в класс компьютер или проектор, а можно и не приносить; можно …. (далее довольно большой список возможных альтернатив, который легко продолжить тому, кто всерьез относится к преподавательскому ремеслу). И наличие двух преподавателей в классе на одном уроке (разные пары преподавателей, как правило, ведут разные дисциплины) позволяет подготовить и провести занятия, продумав заранее многие из перечисленных выше альтернативных возможностей и распределив между собой темы и функции на уроке. Но, во-первых, для этого нужно иметь возможности для маневра. Такая возможность у нас имеется — мы жестко не связаны обязательными министерскими программами, а каждый лектор (он же и «руководитель дисциплины») имеет около двадцати процентов «программной свободы», которую он может использовать в соответствии со своими вкусами и по своему усмотрению. Во-вторых, конечно, нужны преподаватели, которые способны так готовиться к урокам, а потом… вдохновенно, эмоционально и артистично их проводить. Источником здесь является Московский университет (по всем основным дисциплинам), а главными критериями для подбора преподавателей кафедры математики является интерес к научной математической деятельности, опыт преподавания, любовь и желание работать со школьной молодежью, общая культура и личные интересы, коммуникабельность в общении. Другими словами, мы стараемся пригласить в школу преподавателей, которые сами активны и интересны (часто из наших выпускников).

Учебная деятельность ученика, прежде всего, должна быть ему посильной и находиться в «зоне его ближайшего развития (JI.C. Выготский)», помогать учащемуся в решении возникающих у него самых разнообразных учебных проблем и служить решению главной поставленной цели в обучении. А эта (главная) цель у преподавателей и учащихся одна — подготовиться к поступлении в университет и к обучению в нем. Целенаправленная и интенсивная подготовка к вступительным экзаменам в вузы, причем самого высокого уровня, проходит, как правило, вне основного учебного времени. Такую подготовку для наших школьников осуществить не очень трудно. Дополнительные занятия кафедрой планируются и для этого, зачастую,                               приглашаются            специальные            преподаватели

(авторы книг и пособий, опытные преподаватели школ и вузов), имеющие репетиторский опыт и принимавших участие в составлении задач вступительных экзаменов и в работе университетских экзаменационных комиссий. Сказанное не означает, что на текущих уроках задачам вступительных экзаменов внимания не уделяется совсем; просто характер и интенсивность таких занятий различны и послеобеденные занятия не являются обязательными и, тем самым, школьник может сам выбирать те темы на этих занятиях, в которых он чувствует себя не совсем уверенно.

Все наши выпускники (за редким исключением) становятся студентами МГУ, школа и кафедра тщательно анализируют итоги их поступления в вузы, а также и собственные пробелы в организации и тематическом планировании тренировочных предэкзаменационных занятий школьников.

Подготовка к вступительным экзаменам — это еще не подготовка к обучению в вузе, а небольшой фрагмент этой общей подготовки в нашей системе преподавания математики. Уже сама вузовская система организации учебного процесса, .принятая в школе, многому учит и воспитывает: умению слушать и записывать лекции, работать с книгой в читальном зале библиотеки (у нас пока нет полного комплекта собственных учебников), планировать свое рабочее время и досуг, сдавать экзамены в каждом семестре, жить в общежитии и строить межличностные отношения, пользоваться своими правами учащегося университета (не забывая об обязанностях), коллективизму и уважению к окружающим. Главная же задача подготовки к обучению в вузе напрямую связана с постановкой всей системы математического образования, основной целью которой мы стремимся сделать развитие интеллекта и воспитание интереса к самостоятельной творческой деятельности. Другими словами мы стремимся «научить учиться» и «научить думать». Многими специалистами самого различного профиля признается, что лучше всего в школе это может сделать математика, об этом же говорит и весь мировой опыт человечества. При этом под интеллектуальным развитием ученика, применительно к математике, мы понимаем расширение объема знаний (кругозора), развитие умений и навыков решать задачи и в том числе — исследовательского характера. Бьггь может кто-то и не согласится с такой короткой трактовкой, но вряд ли будет отрицать, что эти составляющие важны, а при изучении математики и ее преподавании всегда присутствуют.

Наши учебные программы по математике включают в себя много материала, который выходит за рамки официальных министерских программ. Это можно сделать, так как нам приходится работать с отобранными школьниками и с уже выраженными интересами к учебе. Это позволяет увеличить темп преподавания и обучения.

Вопросы более полного, глубокого и тщательного изучения тех или иных школьных математических дисциплин, отработки нужных взаимосвязей между ними, знакомства на конкретных материалах с вопросами становления и развития математических идей в историческом плане решаются довольно просто, так как для этого, в основном, нужны просто преподаватели, способные заинтересовать учащихся, разумно и методически продуманно совместно со школьниками изучить (я здесь не оговорился) выбранный учебный материал. Все математические курсы без исключений имеют свою специфику. Так, геометрия в десятом классе практически весь учебный год посвящена курсу планиметрии, которая в массовой школе заканчивается в девятом классе. Этот курс, конечно, включает в себя незначительный повторительный элемент и систематизацию полученных ранее знаний, но его главное содержание — расширение общего кругозора обучающихся и знакомства их с «геометрическими жемчужинами», воспитание геометрического мышления. Трехмерная геометрия изучается успешно нами за один год и также с добавлением важных тем, нацеленных на воспитание пространственного воображения и интуиции.

При организации школьного курса математического анализа перед нами вообще не стоит вопроса (на который педагоги и методисты уже в течение многих лет «ищут» единственно возможный ответ): Нужно ли включать в учебную программу понятия производной и интеграла, то есть нужно ли изучать начала дифференциального и интегрального исчислений и его приложений? Мы всегда строим свои курсы анализа довольно традиционно, но его изложение всегда делается доступным и наглядным, опираясь, во многом, на наблюдения, здравый смысл и интуицию. И наш опыт говорит о том, что «эти начала могут быть изложены в форме, в которой они совсем не воспринимаются как что-то более грудное, чем обычный, чисто алгебраический материал» (А.Н. Колмогоров). Хотя при постановке этого курса у нас всегда и возникает много конкретных вопросов, но они чисто методического характера и мы можем много интересного рассказать преподавателям-математикам о способах их решения. Отличительными чертами этого курса является то, что специальный его раздел посвящен дифференциальным уравнениям, имеется в этом курсе и тема «Комплексный анализ»; иногда в рамках этого курса читался семестровый курс теории вероятностей и в довольно серьезном объеме.

Алгебра как учебный предмет в массовой средней школе довольно далека от современной алгебры как науки, что вполне естественно, так как на самом деле в этом школьном курсе сильно переплетаются элементы трех математических дисциплин («три великие А», по выражению Ф. Клейна, — Арифметика, Алгебра, Анализ). Наш алгебраический курс, в основном, ориентирован не на теории и аксиоматику, а на конкретные ситуации, примеры и задачи (в рамках первых двух А). Конечно, на лекциях и семинарских занятиях доказываются теоремы, закладываются основы теорий, но всё-таки лицо дисциплины определяют те конкретные задачи, которые выносятся на упражнения. Там, где это целесообразно, на типичных примерах рассматриваются различного рода общие алгебраические структуры. Комбинаторика, комплексные числа всегда включаются в курс. Определенное внимание уделяется задачам, лежащим на стыке алгебры и теории чисел, геометрии, математического анализа. Стержневой идеей курса, его стержневым понятием, является понятие уравнения. Курс содержит значительные исторические экскурсы, приучает к вычислениям и преобразованиям, служит расширению «алгебраического» кругозора.

С частными методиками преподавания и изучения отдельных тем по математическим предметам можно познакомиться по циклам статей автора [6], [7], [9].

Основные курсы дополняют специальные курсы, семинары и факультативы. Их тематика очень разнообразна, год от года меняется и, как правило, отражает личные вкусы руководителя и его научные интересы. Большая часть таких курсов посвящена вопросам, дополняющих основные курсы, но бывает, что они имеют с ними мало точек соприкосновения. Выбор такого курса осуществляется школьником самостоятельно и сначала они «бегают с одного на другой», пока окончательно не определятся.

Научить школьников думать невозможно без самих школьников, они должны этому сами учиться, причем упорно и долго. Поэтому, как мне кажется (и не только мне), задача школы — научить учиться думать. А значит развивать способности учащихся грамотно использовать информацию, полученную в процессе обучения (от преподавателя, из книги, из журнала, от одноклассника), а также развивать определенные навыки и определенный склад ума. А этого можно достигнуть, наиболее эффективно, только при развитии умения решать задачи. Об этом очень эмоционально написал выдающийся математик и педагог Д. Пойа: «Решение задач специфическое достижение разума, разум же — особый дар, которым наделен человек. Способность к преодолению препятствий, к нахождению обходного маневра там, где не видно прямого пути, возвышает умное животное над тупым, человека — над самым умным животным и талантливых людей — над другими людьми».

Что такое задача? Задача «представляет необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели». Решение задачи и состоит в поиске этого средства. Для развития мышления единственно ясным, понятным и апробированным средством является его тренировка и какие-либо правила мышления, мотивы рассуждения почерпнуть человеку извне практически невозможно, их нужно «выработать так, чтобы они вошли в плоть и кровь и действовали с силой инстинкта» — снова Д.Пойа. Именно поэтому и нужно учить умениям решать задачи. Задачи человеку приходится решать всю свою жизнь и ежедневно. Простых задач не бывает, так как если у человека трудностей нет, то для него нет и задачи. Поэтому эпитеты «сложная», «простая» применительно к задаче всегда носят субъективный характер. Понимание этого крайне важно в преподавательском деле, так как, оценивая сложность задачи преподаватель должен исходить нр из своего опыта решения задач или кацих-то сторонних методических рекомендаций, а из опьгга решать -задачи учащимися, которым он эти задачи желает предложить и которых учит сегодня. Обучение постановкам и решениям задач является важнейшей составной частью всех наших математических курсов, является целью и средством обучения математики в нашей школе и подготовки к обучению в вузе. Уместно здесь еще привести высказывание известного математика П. Халмоша: «Задача — сердце математики, и мы должны подчеркивать всё более и более в классе, на семинарах, в книгах и статьях, которые мы пишем, чтобы наши ученики стали лучшими постановщиками и решателями задач, чем мы сами». Решение задач — это та столбовая дорога в математику, шире которой нет и, видимо, другого способа привить интерес к математике и полюбить эту мудрую науку не существует. Идя по этой дороге, школьники учатся многому из того, с чем они встретятся в своей жизни, развивают свое общее развитие и повышают свои интеллектуальные возможности.

Все наши школьники (за исключением немногих) будут использовать математику и ее методы в своей будущей профессии или вообще станут профессиональными математиками — исследователями. В частности, именно поэтому мы здесь говорим не только о решении задач, но и о постановках задач в ходе семинарских занятий как по инициативе преподавателей, а что более важно — по инициативе самих школьников. В научной и практической деятельности зачастую правильная постановка задачи гораздо важнее, чем ее последующее решение; да и не бывает никакого творчества без сформулированной перед собой цели (хотя, зачастую, расплывчатой и туманной).

Вся школьная жизнь пропитана решениями задач и их обсуждениями: обычные занятия, контрольные работы, коллоквиумы, зачеты и экзамены, олимпиады и конкурсы решения задач, кружки, собственные исследования школьников и т.д. Задачный материал подбирается и разрабатывается под руководством лектора, и после его обсуждения формируются тематические списки задач (иногда крупные, чаще — не очень), часть из которых изучается на уроках, часть — в ходе самостоятельной работы (такой системы придерживаются многие специализированные школы). Списки «живые» — они зависят от многих обстоятельств, но главное, что они зависят напрямую от обучающихся. Иногда они отличаются в разных классах у одних у тех же преподавателей и, тем самым, невозможно подготовить их раз и навсегда (хотя есгь и некоторая неизменная часть). Тем более что сами программы меняются ежегодно, хотя и незначительно. Имитация творчества и само творчество возникают именно в процессе обучения решению задач, так как решение любой задачи учеником требует от него поискового рассуждения. Ясно: чтобы эти «творческие муки» школьников были результативными и полезными, нужны такие подборки задач, которые нацелены именно на учебную инициатив}’ учащегося. Только при этом условии можно реализовать принцип активного изучения («метод Сократа»), смысл которого состоит в следующем: «Для того, чтобы изучение было наиболее эффективным, учащийся должен самостоятельно открыть настолько большую часть изучаемого материала, насколько это в данных обстоятельствах возможно». Этот тезис перекликается с известным высказыванием английского философа Г. Спенсера: «Что значит преподавать? — Это значит систематически побуждать учащихся к собственным открытиям».

Суть наших списков задач состоит в том, что они содержат задачи трех типов: теоретические, тренировочные и требующие проведения пусть даже небольших исследований. В теоретической части решение ряда задач приводит школьника к доказательству теорем, свойств, неравенств, то есть эта часть задач нацелена на развитие навыков логики рассуждений, полноты аргументации, то есть на умение доказывать. Вторая часть, как правило, содержит различные применения установленных фактов из первой части. Последняя группа задач (она может состоять только из одной задачи) наиболее важна. Во-первых, она привязана к первым двум, а во-вторых, состоит из «многоходовых задач», для решения которых приходится использовать не только те факты и конструкции, которым посвящен данный список задач, но и предыдущие и даже из других дисциплин.

Интерес учащихся движет всем, а наборы задач его определяют и, тем самым, теперь уже принцип активного обучения (невозможно отделить изучение от обучения) и его реализация ложится на сценариста — преподавателя дисциплины. У каждой подборки задач и упражнений имеется свой лейтмотив (он иногда выносится прямо в ее тематический заголовок), который используется преподавателями в процессе обсуждений решений и при комментариях к ним. Вопросы к учащемуся начинаются с самой постановки задания. Основная цель работы над списком задач — каждому ученику получить приемлемые ответы; здесь следует подчеркнуть, что полнота этих ответов регулируется, в основном, самими учащимися, когда они выполняет, например, только часть задания или ленятся сходить в библиотеку. Совсем не обязательно, чтобы именно эти поставленные учебные цели совпадали с заголовками самих списков задач, но в самом начале работы над ним цель ясно формулируется.

Все учащееся без исключений в моих классах должны сда^гь этот список задач на часто организуемом коллоквиуме (на занятиях, на зачете), предъявив тетрадь с полными записями решений задач и доказательствами теорем. При этом, неукоснительным требованием является система оформления: четкие чертежи (выполненные циркулем и линейкой с применением различных цветов), полнота аргументации в текстах решений задач, ясные ссылки на теоремы и ранее решенные задачи. Если есть возможность проводить такие коллоквиумы за основной сеткой уроков, то мы проводим их там, а если ее нет, то они проводятся во время обязательных часов. Эта система довольно эффективна, так как на такой коллоквиум нужно прийти с тщательно продуманными и оформленными записями (что само по себе уже важно), не тратится время на подробный разбор домашних заданий в классе (при такой схеме, если ей следовать достаточно регулярно, обычных домашних заданий в обычном понимании просто нет), школьники привыкают к «писанию и чистописанию», а индивидуальная беседа с учителем по решенным и нерешенным задачам приносит огромную и неоценимую пользу обучающемуся и преподавателю. Еще один важный плюс при такой схеме контроля: нет особой нужды в текущем опросе учащихся с выставлением оценки, что сильно экономит драгоценное время на текущих занятиях. Мнение о том, что для сдачи коллоквиума школьники занимаются списыванием друг у друга, не выдерживает серьезной критики, да мы и не препятствуем взаимным консультациям учащихся; опьггный учитель всегда легко оценит качество изученного материала и практически всегда определит реальные источники написанных решений задач. Материалы конкретных коллоквиумов можно посмотреть в [13].

Проблема домашних заданий, а точнее, их выполнения, проблема, к которой всем нужно очень серьезно относиться, а не только преподавателям математики. Простой подсчет показывает, что в семестр наши школьники только но основным математическим курсам должны решать около 500 задач, не считая задач на контрольных работах, на зачетах и экзаменах и др. А это колоссальная нагрузка для учащихся, имеющих кроме математики еще много дисциплин и, следовательно, много домашних заданий.

Стимулы и интересы. Каковы же стимулы для изучения и обучения, которые возбуждали и побуждали бы к умственной активности и при решении задач, в частности? Лучший внутренний ресурс на награду за умственные усилия — это удовлетворение и наслаждение, доставляемое такой работой, а также интерес к дальнейшему изучению (и обучению также) пока неизвестного материала, который неизбежно возникает после хорошо выполненной работы. Стимулом являются и оценки в школьном журнале, из которых «два» — это наихудший стимул (по моему мнению, в школах, подобной нашей, наказание за нежелание школьников учиться должен нести преподаватель, а не учащийся). Имеются в нашем арсенале и другие стимулы: школьные линейки и классные часы (помимо классных руководителей и воспитателей имеется еще и должность куратора класса), грамоты, экскурсионные поездки, тематические вечера, публикации и телепередачи и т.д. Старшеклассники и старшеклассницы, остаются детьми, они находятся в разноуровневой по умственному и физическому развитию интернатской среде и как бы они не пыжились и не воображали, все они любят, когда их хвалят и дарят «что-нибудь вкусненькое». У преподавателя, как у «продавца математики неучам», кроме безудержной и надоевшей рекламы своего «товара» должны быть припасены шутки, анекдоты, стихи, песни, сказки и много чего другого (то есть он должен иметь в запасе «математические хиты»), он должен обладать хорошими мотивировками и аргументами, которые убеждают обучающихся в том, что без этого «товара» им не обойтись и … «впарить» его школьникам. «Втянуть в задачу» можно и чисто авантюрным путем — просто голосованием всего класса при угадывании ответа, так как поднятие руки уже обязывает и затрагивает авторитет и самолюбие ее поднявшего.

Сложнее с постановками задач, когда в них основную роль играют учащиеся, но когда это удается (у меня, сравнительно редко), то это является мощнейшим стимулом, который «держит» аудиторию довольно продолжительное время. Сложно еще и потому, что задач в методической литературе, около которых была бы написана аргументированная рекомендация, что их можно использовать в таком ключе, очень мало. Часто такие возможности возникают неожиданно прямо на уроке, и учитель должен уметь реагировать быстро, что напрямую зависит от его педагогического опыта и должного образования. В плановой подготовке к занятиям преподаватель, конечно, должен заготовить такие задачи и тщательно продумать «режиссуру» для того, чтобы затем ее осуществить на уроках вместе со школьниками. Но зачастую, по таким заранее заготовленным задачам, это получается не очень хорошо, хотя внешне всё и выглядит нормально: имеется диалог, и даже активный, но его инициатором и ведущим является, в основном, учитель, а не ученик. Такой диалог (больше похожий на монолог) довольно быстро заканчивается, да и урок короткий. Причина в том, что тут нет и не может быть коллективного куража, который возникает только при активной работе мысли большинства участников, я сама работа над постановкой задачи должна возникать естественным образом и непосредственно на том материале, который изучается в данный момент времени (быть может и рутинного характера). Чтобы вести такую работу на постоянной основе мы и стараемся при выдаче каждого нового списка задач, обозначить его каким-то вопросом общего характера и желательно с неоднозначным ответом (ответами), чтобы «озадачить» всех учащихся надолго, постоянно к нему возвращаясь в процессе классной работы над всем списком задач. И мы не жалеем времени на эту процедуру, включая в нее головоломки и софизмы, исторические фрагменты, содержательные рассказы об общем замысле задания и различные другие «песни и пляски» вокруг него.

Я использовал также многие домашние заготовки (специально подобранные для организации театрального действа «по постановке задач учащимися»), для которых черпал материал из широко известных первоклассных книг и различного рода научной и научно-популярной периодики. Из них можно отметить такие, удавшиеся мне, «математические этюды»: Теорема Пифагора — теорема Паппа — Теоремы Евклида (цель: естественные обобщения в различных направлениях классической теоремы); Замечательные точки и линии тетраэдра (цель: интуиция и аналогия); Графики квадратично- рациональных функций (цель: роль классификации); Индукция в геометрии (цель: математика едина); Конечные геометрии (цель: аксиоматические построения) и т.п.

Нет, конечно, таких преподавателей, которые постоянно шу гят и балагурят для реализации своих целей на уроках. Но важно то, что только просто понимание важности постоянного использования стимулирующего принципа не позволит включить в списки задач только рутинные задачи; для них (а они неизбежны в учебе) придется искать другие формы и приемы (например, «Кто быстрее сделает 10 задач?»). В список стимулов нужно внести и такие, бьггь может, неожиданные формы совместной работы преподавателей и учащихся: домашнее задание на каникулы, где первым пунктом является просьба написать стихотворение, рассказ, песню, юмореску, придумать анекдот по пройденному материалу или о каких-то моментах школьной жизни или, например, уроки в школьном саду (см. [14]) и др. Более эффективным стимулом для изучения дисциплины в целом является включение в программы таких тем, о которых школьники вообще ничего не слышали; не раз отмечалось, что на таких уроках царит нормальная деловая атмосфера, интерес несомненен. Аудитория становится более ровной — резко сокращается деление на «передовиков и отстающих», что крайне важно для обучающихся, которые зачастую «перестают махать на себя ру^ой» и побуждает поверить в собственные силы и возможности. Еще одним стимулом у нас является конкурс решения задач памяти основателя нашей школы, академика Андрея Николаевича Колмогорова (см. [13]). Ежемесячно участникам конкурса предлагается пять задач из различных разделов математики. Итоги конкурса подводятся один раз в год — в конце апреля. Принять участие в конкурсе можно в любой момент времени; при этом совсем не обязательно представлять решения всех задач — можно также использовать задачи, предлагавшиеся и ранее. Некоторые из задач конкурса становятся началом научных исследований и служат основой докладов учащихся на различных научных конференциях школьников.

Участие в работе научной конференции — также стимул, и стимул огромный. Школьники, в них участвующие, — популярные и уважаемые личности, и это вполне заслужено. Такие конференции становятся неотъемлемой частью совместной деятельности ученика и учителя у подавляющего большинства специализированных школ и классов как у нас в стране, так и за рубежом. Наши учащиеся постоянно участвуют в школьных Чебышев- лх чтениях, Сахаровских чтениях, Харитоновских чтениях и, конечно, в Колмогоровских чтениях, а также в некоторых других (даже «для взрослых») конференциях. Международные школьные Колмогорове кие чтения возникли по нашей инициативе (они прошли уже восемь раз) по пяти секциям: математики, информатики, физики, химии, биологии (именно такие специализации обучения имеет наша школа). Насрадует, вдохновляет на работу в будущем и обнадеживает то, что научный уровень докладов на всех конференциях за последние го/ i достаточно заметно вырос, а число участников конференции значительно увеличилось. Победители этих конференций показали себя настоящими молодыми исследователями, могущими решать серьезные проблемы как теоретического, так и прикладного характера (см. [11]). Качество задач и их научный уровень, учитывающий возрастные и образовательные возможности, — это заслуга, в первую очередь, школьных учителей и привлеченных в школу ученых и преподавателей различных вузов, которые сумели не только правильно поставить задачи, но и смогли оказать в течение значительного времени поддержку в работе и обеспечить надлежащую консультационную помощь. Отличительной особенностью Школьных Колмогоровсикх чтений является наличие секции по методике профильного преподавания для учителей и руководителей делегаций, приехавших вместе с учащимися. Цель ее работы состоит, в частности, в обмене мнениями по совершенствованию и повышению уровня научно-исследовательской деятельности учащихся между теми преподавателями, кто уже руководит научной работой школьников.

Вообще вопрос об организации научно-исследовательской работы в школе — особый вопрос, и вопрос непростой. Это всегда требует серьезного продумывания и является большой «головной болью» для научного руководителя (преподавателя) и для администрации школы (на поездки и деньги нужны). Если профанацией такой деятельности не заниматься, то это работа «штучно-индивидуальная» и требует огромных (неоплачиваемых) трудозатрат учителя. В первую очередь нужны постановки разумных и посильных задач для исследований. А такие исследовательские темы может поставить и сформулировать только тот, кто сам активно работает в той или иной научной области или, по крайней мере, следит за научной периодикой. К счастью, на нашей кафедре математики в школе такие люди имеются и как следствие этого — добротные доклады на конференциях. Учащиеся черпают исследовательские темы, в основном, участвуя в работе одного из специальных курсов, семинаров, кружков. В школе продолжительное время по пятницам работает научно-исследовательский семинар для учащихся, где ставятся исследовательские темы и задачи, и практически на каждом специальном курсе такие темы и конкретные задачи также ставятся. В течение последних пяти лет дополнительно к нему работают два научно-исследовательских семинара (их заседания проходят в школе и на механико-математическом факультете МГУ), в которых вместе участвуют школьники, преподаватели школы и МГУ, а также студенты и аспиранты: «Математика. Кибернетика. Информатика» и «Научно-исследовательский семинар но элементарной математике». Заседания этих семинаров дают возможность познакомиться с различными направлениями современных исследований и почерпнуть конкретные задачи для совместной работы преподавателей со школьниками. Научно-исследовательская программа для учащихся «Мехатроника и робототехника», которая реализуется в школе уже пять лет специалистами НИИ механики МГУ, вызывает вполне заслуженный интерес у детей.

Стимулом для самостоятельного решения задач в рамках всего учебного процесса, и к обучению этому, является и участие в олимпиадах самого различного уровня. Победители также являются школьными кумирами и многим из наших учеников хотелось бы стать участниками заключительных этапов национальных и международных соревнований. И здесь мы с гордостью можем сказать, что за сорок пять лет существования школы на заключительных этапах Всесоюзной и Всероссийской олимпиад по математике наши школьники поучили 29 дипломов первой степени , 67 — второй, 53 — третьей и 27 похвальных отзыва, а на Международных олимпиадах — 13 золотых, 18 — серебряных и 10 — бронзовых медалей. Однако олимпиадные бойцы — люди особые, и далеко не все школьники хотят и умеют решать задачи на время, и зачастую очень трудные. Таких людей нужно воспитывать и довольно продолжительный период учить их широкому списку специфических методов решения задач. Для этого в школе работает специальный семинар «Олимпиадные задачи», который требует от его руководителей огромной и трудной профессиональной работы, изучения опыта и анализа задач олимпиад других стран, находиться в курсе публикаций во многих периодических изданиях и книгах, большого числа командировок и т.д. Более того, в последние годы эффективно работает «Олимпиадная школа» (в январе и в июне), в которую приглашаются не только наши воспитанники, но и учащиеся из других московских школ и регионов. Тем самым, для такой огромной и серьезной работы нужны молодые и энергичные математики, из числа бывших олимпиадников, которые способны вести соответствующую работу со школьниками, причем работу почти не оплачиваемую. И такие энтузиасты в школе никогда не переводились. Преподаватели школы всегда интересуются успехами наших олимпийцев, поддерживают и помогают им, чем могут, гордятся их успехами. Вместе с тем мы призываем школьников очень осторожно относится к успехам на олимпиадах. Гак в предисловии к одной из олимпиадных книг основатель нашей школы А.Н. Колмогоров, например, писал: «Участие в школьных математических кружках и олимпиадах может помочь каждому оценить свои собственные способности, серьезность и прочность своих увлечений математикой….

Желая … всяческих успехов в решении задач и побед на школьных, городских, Всероссийских олимпиадах, я хочу в то же время заметить, что пути к серьезной работе в области математической науки разнообразны. Одним легче дается решение замысловатых задач, другие вначале не выделяются на этом поприще, но, двигаясь медленно, овладевают глубокои серьезно теорией и несколько позднее научаются работать самостоятельно. В конечном счете, при выборе математики как предмета основных интересов и работы на долгое будущее каждый должен руководствоваться собственной самооценкой, а не числом премий и похвальных отзывов на олимпиадах…». Сейчас количество самых разнообразных математических соревнований школьников, организуемых в Москве, и вообще в стране, на мой взгляд, превысило разумные границы и зачастую «необходимость участия в них» многих способных учащихся лишает возможности полноценно учиться.

Еще одним из важных стимулов для повышения активности и интереса к изучению математики в школе является так называемый математический практикум. В распространенном обычном понимании (применительно к математике) — это тренинг по решению задач и, как правило, нацеленный на подготовку к вступительным экзаменам в вузы. У нас подготовка к таким экзаменам не входит в систему практикумов. Говоря о математических экспериментах (различных заданиях практикумов), мы имеем также в виду не только те вопросы постановки математического образования, где соприкасаются (или сливаются) математика и информатика, но и просто о чертежах, расчетах, графиках, схемах, построении моделей, составлении таблиц и т.д. Кроме того, преследуются и более серьезные цели: привить вкус к конкретной, реальной математике, проиллюстрировать наиболее тонкие теоретические разделы курса, показать силу только что освоенных методов при решении практических задач. Задания практикума состоят из одной или нескольких ступеней: от очень конкретной до исследовательской. Начальная часть обязательна для всех учащихся, исследование — только для желающих; задания зачастую содержат темы творческого характера для проведения самостоятельных исследований. Довольно значительный промежуток времени в учебном плане школы был отдельный предмет (1970-1988), который так и назывался «Математический практикум» (и оценка за него заносилась в аттестат); он стал основой нынешнего «Вычислительного практикума», который сейчас присутствует в нашем учебном плане по информатике. При этом был предусмотрен один лекционный час в основной сетке расписания (на изложение теоретического материала и постановку заданий) и время на консультации и прием заданий (за основной сеткой). Все задания для учащихся индивидуальны, что достигается выбором значений исходных параметров; правда, в тех случаях, когда работа велика, класс разбивается на группы. В семестр учащиеся выполняли 4-5 заданий. Во времена чрезмерного увлечения «гуманитаризацией средней школы» и введения в учебный план информатики автоматически «случилось» уменьшение часов, что сказалось и на математическом практикуме. В настоящее время, к великому моему сожалению, только отдельные преподаватели уделяют ему должное внимание с теми же исходными методическими установками. Со многими конкретными заданиями практикума можно познакомиться по публикациям [1], [3], [8]. Это А.Н. Колмогоров, со всей настойчивостью, реализовал сначала в университете, а затем и в школе при МГУ такое нововведение в нашей стране. Он сам и руководил, поначалу, этими практикумами, сам придумывал новые постановки задач, используя, при этом, зачастую самые современные научные достижения.

Именно эта конкретная и вычислительная работа (плюс умелая и привлекательная постановка задач) при выполнении заданий математического практикума не на словах, а на деле показывает силу математических методов исследований в различных областях человеческой деятельности, осуществляет прикладную составляющую математического образования в школе и реализует межпредметные связи. Общие установки при создании математического практикума в школе А.Н. Колмогоров описывал так: «Часы математического практикума, проводящегося, в идеале, одновременно для всего потока (в школе имелся тогда только физико-математический профиль: классы делились на потоки — в них работала одна группа преподавателей математики — курсив автора статьи), используются частично для унификации требований к различным классам письменных работ, состоящих из серии задач обычного школьного типа. Но в основном эти часы отводятся для выполнения работ большого объема, требующих больших вычислений и чертежного оформления. Например, фактически осуществляется программа оценки числа Пи, после изучения в классе движения по циклоиде исследуются графически более сложные случаи сложения движений, находятся и изображаются графически системы дифференциальных уравнений последовательного радиоактивного распада…. В проведении практикума участвуют преподаватели, работающие в классах, но отдельная небольшая группа преподавателей его организует и готовит для него материал».

Мне представляется, что наша школа научного творчества учащихся и ее преподавателей — школа им. академика А.Н. Колмогорова

Специализированного учебно-научного центра Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова пронизана идеями ее основателя — великого учителя, патриота и гуманиста, они витают в воздухе, находят свои реализации в конкретных лекциях и на семинарских занятиях и во многих публикациях научно- методического характера. Мы стараемся не потерять традиций, А.Н. Колмогоровым и его последователями заложенных, и сделаем всё возможное для того, чтобы рассказать о них широкой общественности.

Многое из того, о чем рассказано в этой статье, не является откровением, но здесь важно иметь в виду, что описанной выше организации постановки математического образования мы реально придерживаемся в школе сорок пять лет и с полным основанием можем говорить об ее эффективности, путях возможного совершенствования и о нашей собственной технологии «Школа им. А.Н. Колмогорова» в этом трудном и увлекательном деле воспитания активной и думающей молодежи.

Литература:

  1. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В., Тропин И.Т. Физико- математическая школа при МГУ. -М.: Знание, 1981, -64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; №5).
  2. Вавилов В.В. Школа математического творчества. -М.: РОХОС, 2004. — 72с.
  3. Вавилов В.В., Земляков А.Н. Из опыта работы летней физико- математической школы при МГУ. -Журнал «Математика в школе», 4(1978), 38-41.
  4. Вавилов В.В., Трушанина Т.Н. Государственные экзамены в школе им. А.Н.Колмогорова. -Журнал «Математика в школе», 3(1994), 32-36.
  5. Вавилов В.В., Земляков А.Н. Учебные задания по математике. В грех брошюрах: Практические работы № 1-2, Практические работы №3-6, Практические работы № 7-10 . -М.: Ротапринт НИИ СИМО АПН СССР, 1977.
  6. Цикл статей автора в рубрике «В гостях у школы им. А.Н. Колмогорова». — Учебно-методическая газета «Математика. 1 сентября»: №№17, 23, 24(2005); №№ 1, 2, 3, 6, 7, 9, 5, 20, 21, 22(2006); №№3, 6, 7, 12, 15(2007).
  7. Цикл статей автора в рубрике «Лидер математического образования». -Журнал «Математическое образование»: №№ 3(34), 4(35) за 2006 год, №№ 2(37),3(38),4(39) за 2007 год.
  8. Статьи «Математический практикум в школе им. Л.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова», «О стандарте математического образования в школе им. Л.Н. Колмогорова», «О математических исследованиях учащихся школы им. А.Н. Колмогорова», «Математический практикум как основа профильного обучения математики в школе». //В монографиях «Труды Колмогоровских Чтений». -Ярославль, Изд-во ЯГПУ, 2004-08 гг.
  9. Вавилов В В. Школа математического творчества. -Журнал «Математика в школе», 2(2005), стр.5-8.

10. Вавилов В.В., Часовских А.А. VI Школьные Колмогоровские чтения. — Журнал «Математика в школе», 6(2006).

11.Вавилов В.В. Математические успехи школьников. -М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, 2008, 39 стр.

12.Серия статей автора в сборнике на CD «Педагогическое наследие А.Н. Колмогорова» под ред. чл.-корр. РАО Н.Х. Розова. — М: ФГП МГУ, 2007.

13. http://www.mathscool.ru

14. Вавилов В.В., Колоскова М.Е. Уроки в цветущем саду. — Журнал «Потенциал», 5(2007), стр.12-18.

Вавилов В.В.